12.4. Технико-экономическое исследование структур вычислительных систем
Пусть спрос на подсистемы различных рангов подчинен пуассонов-
скому закону:
|
|
* а; |
|
|
|
^ е , р(а) (p; ) |
(12.40) |
р; (а; ) и р; (а;) |
плотности вероятностей случайных величин соответст- |
венно а; и а; . |
|
|
|
Из (12.40) следует, что |
|
|
а; р; (а;) = Р; р; (а; — 1 ), а; > 1. |
(12.41) |
Таким образом, на основании (12.41) можно записать |
|
* |
* |
р*РР (х; —1) — х;Р; (х; ), если x; » 1; |
(12.42) |
Е (а; - |
х)р(а) = |
* |
а• =х |
|
р;, если х; = 0, |
|
где |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
р(а ) |
(12.43) |
|
|
а; =х; |
|
интегральная функция распределения случайной величины a; . |
|
Подставляя (12.42) в (12.39), получаем |
|
L H |
|
|
j=1 i=1 |
|
|
|
+с; |
[р;Р; (х; —1) — х;Р^ ( х; )] . |
(12.44) |
Последняя формула (12.44), a также формулы (12.33), (12.35), (12.37), (12.40), (12.43) позволяют осуществить анализ эксплуатационных потерь, имеющих место в pacпpeдeлeнныx BC, обслуживающих потоки задач c тер
минaлoв.
12.4.2. Организация cтoxacтичecки оптимального
функционирования вычислительных систем
Построение выcoкoпpoизвoдитeльныx BC коллективного пользования
немыслимо без эффективных методов организации фyнкциoниpoвaния, без методов, которые бы позволяли в процессе решения задач потока не только
12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем
достигать стохастически предельной эффективности в работе систем, но
были бы сами эффективно реaлизуемы на средствах ВТ. Примером такого
метода может служить стохастическое программирование [27], эффектив-
ность которого следует из того, что необходимые вероятностные задачи решаются только один раз для заданной ВС и заданной статистики спросов на ее ресурсы. Кроме того, вычислительные трудности приемов решения легко преодолеваются путем применения исследуемой ВС.
Очевидно, что для целей организации стохастически оптимального функционирования распределенной ВС коллективного пользования тре у-
ется решить следующую задачу. Найти х и к , |
j Е Е, , i Е Е Н , |
которые |
обеспечивали бы минимум целевой функции (12.44), т. e. |
|
|
min Z |
|
(12.45) |
при условиях, что х и к г; |
неотрицательные целые числа, |
|
|
кг^ |
|
(12.46) |
|
Н |
|
|
|
—х^ |
= 0 |
(12.47) |
|
i = 1 |
|
|
имеют место формулы (12.31), (12.33), (12.37), (12.40), (12.43) и что |
|
Ji, если ;р*(х^ —1)— х1Р (х^) > р^ —р^; |
(12.48) |
0 в противном случае. |
|
|
Задача стохастического программирования (12.45)—(12.48) с требованием целочисленности и большим числом ограничений не может быть точно решена известными методами математического программирования. Кроме того, вероятностный характер задачи не может оправдать затрат на поиск точного оптимума, тем более что для операционных систем ВС более ценным является быстрое и гарантированное получение хотя бы приближенного (или субоптимaльного) решения, чем получение точного решения через значительное время (без полной уверенности в успехе).
Задача эффективно может быть решена методом цепей Монте-Карло, который заключается в случайном отыскании лучшего распределения, находящегося на некотором расстоянии от базового. Найденное распределение становится новым базовым, относительно которого снова отыскивается случайным образом лучшее распределение. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в течение некоторого времени не будут наблюдаться улучшения. Полученное таким образом распределение является наилучшим относитель-
12.4. Технико-экономическое исследование структур вычислительных систем
но исходного базового, что позволяет ограничиться случайным поиском
только в его окрестности. Метод цепей Монте-Карло применительно к про-
блеме организации оптимального функционирования вычислительных систем в мультипрограммных режимах изложен c достаточной полнотой в [5].
12.4.3. Численное технико-экономическое исследование типовых структур распредeленныx вычислительных систем
Проиллюстрируем описанный в разд. 12.4.1 и 12.4.2 метод организации стохастически оптимального функционирования распределенных конфигypаций ВС. Пусть имеются восемь ВЦ, на каждом из которых находятся по одной ЭМ и одному терминaлy, т. e. имеет место Н = N = L = 8,
Ni = L; =1, i =1, 8. На терминaлы поступают потоки задач различных ран-
гов, которые устанавливают средние спросы (12.33) на подсистемы в соответствии c табл. 12.2. Считается, что и ЭМ, и терминaл, находящиеся на одном ВЦ, имеют одинаковые номера, равные номеру ВЦ.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12.2 |
|
|
|
|
Номер терминала |
|
|
|
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Р; |
1 |
1 |
4 |
2 |
2 |
2 |
5 |
5 |
Р; |
1 |
5 |
4 |
4 |
3 |
2 |
6 |
7 |
далее, пусть стоимость пользования одной ЭМ не зависит ни от номера ЭМ, ни от номера j терминала; для определеннocти положим, что для любого j Е {1, 2, ... , 8} имеет место с; = 2. допустим также, что стоимость
использования каналов, обеспечивающих связь между машинами i и k i, k Е {1, 2, ... , 8}, равна с,к = clik , где 1;k минимальное число каналов, образующих информационную цепь между ЭМ c номерами i и j (или hk
расстояние между вершинами машинами графа, представляющего структуру ВС); с средняя стоимость использования канала между соседними ЭМ. Для определенности примем c = 3. Кроме того, для простоты допус-
тим, что К; = K, j = 1, 8, и будем учитывать три значения K : 0, 2, 10.
Требуется найти такое распределение машин по терминaлам, при котором достигается минимум суммарных потерь Z (12.44) для следующих распределенных конфигураций:
1)ВС со структурой в виде Л(8, 4, 4) -графа (см. разд. 7.2.1 и рис. 7.4, a);
2) ВС со структурой в виде Л(8, 3, 4) -графа;
12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем
3) ВС c кольцевой структурой (когда каждая ЭМ i связана непосредственно c машиной j , где j = i +1 (тод 8); i, j Е {1, 2, ... , 8};
4) ВС («кольцевой» ВС, в которой отсутствуетлинейной непосредственная связь между машинами 1 и 8);
5) ВС c радиальной структурой (при которой ЭМ c номером 1 имеет непосредственную связь c машинами 2, 3, 4, 5, б, 7, 8).
Следует отметить, что реализация в пределах систем МИКРОС-1 и МИКРОС-2 (см. § 7.6) конфигураций 3 и 4 основывается на использовании в каждой ЭМ по одному системному устройству, реализация конфигураций
1 и 2 требует по два системных устройства для каждой ЭМ, наконец, реализация конфигурации 5 рассчитана на применение в машинах c номерами
i, 2 < i < 8, по одному системному устройству, a в ЭМ c номером 1 четы-
., рех таких устройств.
|
|
|
Таблица 12.3 |
Структура |
|
Характеристика ВС |
|
К |
|
|
|
Zmin |
L1G, |
|
|
|
Л(8, 4, 4) -гpаф |
0 |
17,18 |
48, 8 |
|
2 |
60,14 |
37,8 |
|
10 |
250, 14 |
29,2 |
Л(8, з, 4) -гpaф |
0 |
20, 1 в |
49,о |
|
2 |
69, 52 |
32,8 |
|
10 |
238, 14 |
33,8 |
Кольцевая |
0 |
22, 57 |
67,9 |
|
2 |
68, 80 |
43,4 |
|
10 |
237, 30 |
37,1 |
Линейная |
0 |
19, 60 |
65,9 |
|
2 |
73,66 |
39,4 |
|
10 |
247, 16 |
34,5 |
Радиальная |
0 |
21, 93 |
54,9 |
|
2 |
70, 48 |
37,3 |
|
10 |
234, 28 |
36,4 |
Результаты решения задачи оптимального распределения машин по терминалам для распределенных конфигураций ВС приведены в табл. 12.3 и на рис. 12.1-12.5. Значения целевой функции (12.44), обозначенные как
Zmin (см. табл. 12.3), получены методом цепей Монте-Карло. При отыскании Zmin проводилось около тысячи испытаний и просмотр распределений
машин по терминалам осуществлялся на расстоянии h = 15 от начального базового распределения. B качестве расстояния между двумя последова-
12.4. Технико-экономическое исследование структур вычислитeльныx систем
Рис. 12.1. Распределение машин по терминалам для ВС со структурой в виде
Л(8, 4, 4) -графа:
a — K = 0; б — K = 2; в — K = 10; 0 — ЭМ; 0 — терминал; |
— связь, выделенная |
для обменов между ЭМ или между ЭМ и терминалом |
|
Рис. 12.2. Распределение машин по терминалам для ВС со структурой в виде Л(8, 3, 4) -графа:
a — K = 0; б — K = 2; в — K = 10; 0 — ЭМ; 0 — терминал; |
— связь, выделенная |
для обменов между ЭМ или ЭМ и терминалом |
|
тельностями номеров принималось число номеров во второй последовательности, которые не следовали за теми же номерами, как это имело место в первой последовательности. Метод получения последовательности c расстоянием, не большим h (относительно исходной), основан на псевдослучайных числах. B качестве начального базового распределения машин по терминалам может выступать произвольное из допустимых распределении. B данном случае взято распределение машин, которое обеспечивало минимaльные потребности терминaлов (см. табл. 12.2), причем потребности удовлетворялись в порядке возрастания номеров свободными ЭМ c близлежащих ВЦ (находящихся на наименьших расстояниях от рассматриваемого
терминaла).
12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем
B табл. 12.3 приведены также значения показателя
0Z= (Zбаз - Zтй) •100%, |
(12.49) |
Zбаз
где Z6 значение суммарных ожидаемьпх потерь (12.44) для исходного базового распределения машин по терминалам. Показатель (12.49) характеризуeт качество окончательного распределения, по нему можно судить об относительном yменьшении ожидаемьх потерь при применении оптимизации.
На каждом из рис. 12.1 12.5 отражено три варианта распределения ЭМ
по терминалам; запись l (i, k, ... , f), соотнесенная c квадратом j, означает, что 1 машин c номерами i, k, ... , f назначены для обслуживания терминала j.
Рис. 12.3. Распределение машин по терминалам кольцевой ВС:
a — К = 0; б — К = 2; в — К = 10; 0 — ЭМ; — терминал; |
— связь, выделенная |
для обменов между ЭМ или между ЭМ и терминалом |
|
3(5, б, 8) |
3(3,7,8 |
б |
в |
Рис. 12.4. Распределение машин по терминалам линейной ВС: |
|
a — K = 0; б — K = 2; в — К = 10; 0 — ЭМ; — терминал; |
— связь, выделенная |
для обменов между ЭМ или между ЭМ и терминалом |
|
12.4. Технико-экономическое исследование структур вычислительных систем
Рис. 12.5. Распределение машин по терминалам радиальной ВС:
a — К = 0; б — К = 2; в — К = 10; 0 — ЭМ; 0 — терминал; |
— связь, выделенная |
для обменов между ЭМ или между ЭМ и терминaлом |
|
Если проанализировать средние спросы на терминалах (см. табл. 12.2) и полученные распределения ЭМ по терминалам, то можно заметить, что имеют место несоответствия, когда количество х ; ЭМ, назначенных на терминал], меньше минимального спроса р ;, j Е {1, 2, ..., 8} Это объясняется не столько несовершенством метода оптимизации, сколько вероятностной природой задачи об организации функционирования ВС. Действительно, в табл. 12.2 приведены не точные, a средние спросы р ; и на подсистемы для каждого из терминалов j . Вероятности появления на терминале j задач c рангами вне промежутка [р ;, р; ] не равны нулю. Следовательно, даже если для терминала j выделенное количество x; машин окажется за
пределами диапазона р; , р; ] , то это не будет противоречить реальным
[
процессам поступления задач и функционирования распределенных ВС. Численный анализ технико-экономических показателей каналов для
передачи данных и средств ВТ, данные табл. 12.3 и рис. 12.1 12.5 позволяют сделать следующие выводы.
1. При формировании распределенных вычислительных систем нет необходимости использовать машины c большим количеством полюсов для межмашинных связей; при незначительном количестве ЭМ достаточно ограничиться линейными структурами.
2. Подход, описанный в рaзд. 12.5.1 и 12.5.2, приводит к стохастически оптимальной организации функционирования ВС, что адекватно характеру поступления задач в систему и их сложности. Оптимизация функционирования ВС c помощью метода цепей Монте-Карло гарантирует получение не минимума, a субминимума целевой функции эксплуатационных потерь при обслуживании потоков задач, поступающих на терминaлы.
12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем
3.Увеличение коэффициента штрафа K, регулирующего степень учета потерь из-за недостаточного выделения машин терминaлам, приводит iк по- вышению субминимaльного значения целевой функции Z (12.44) и к уменьшению AZ (12.49). Следовательно, c увеличением K ослабевает влияние процедур оптимизации при отыскании окончательного распределения (см. табл. 12.3). Значит, эти процедуры можно сделать менее трудоемкими; например, применительно к методу цепей Монте-Карло можно уменьшить и количество испытании, и расстояние, на котором следует просматривать распределения относительно исходного.
4.Метод отыскания стохастически оптимального функционирования ВС на основе цепей Монте-Карло эффективно реализуем и на ЭВМ, и на ВС. Для заданной ВС и существующей статистики спросов на вычислительные ресурсы задача организации стохастически оптимального функционирования системы решается один раз. Предложенный метод может стать ос-
новой программных блоков операционных систем, обеспечивающих работу ВС в режиме коллективного пользования.
12.5. Анализ технико-экономических возможностей вычислительных систем
1. Введенные показатели c достаточной полнотой позволяют оценить технико-экономическую эффективность функционирования ВС как ансамблей ЭМ. Показатели устанавливают взаимосвязь между надежностью и стоимостью ВС. По ним можно анализировать работу систем в условиям и переходного, и стационарного режимов. Выведенные формулы вполне удовлетворяют требованиям практики, они просты и позволяют производить экспресс-анализ ВС c произвольным количеством ЭМ без применения средств ВТ.
2.Численно установлено, что ВС не более чем за 10 ч входят В стационарный режим работы. Данное обстоятельство приводит к предельной простоте экспресс-анализа технико-экономической эффективности функ-
ционирования ВС.
3.Предложен подход к изучению технико-экономической эффективности функционирования ВС, учитывающий топологию сети межмашинных связей и случайный характер спроса на ресурсы. Подход приемлем как при анализе работы многотерминальных ВС, так и при организации стохастически оптимальной работы систем . Он позволяет создавать эффективные, операционные системы для ВС коллективного пользования.
4.Микропроцессорные ВС (в том числе и МИКРОС), основанные на принципах параллелизма, программируемости структуры, конструктивной однородности, являются перспективными средствами обработки информа-
ции и по технико-экономическим показателям.
ПPИЛOЖEHИЯ
П.1. Расчет функции надежности вычислительных систем
При выводе расчетных формул для функции R(t) надежности распределен-
ных ВС или, что то же самое, для вероятности безотказной работы ВС в переходном режиме (9.б) будем считать, что задано:
N число ЭМ, составляющих анализируемую систему;
n число ЭМ, образующих основную подсистему (вычислительное ядро)
(см. § 9.2);
Ео = {0,1, 2, ..., п, ... , N} пространство состояний ВС;
Е0 = {0,1, ..., N — п} подмножество начальных состояний ВС; m число (виртyaльных) ВУ;
интенсивность потока отказов в одной ЭМ (2.11); µ интенсивность восстановления отказавших ЭМ одним ВУ (2.18).
Рассчитаем функцию R(t) надежности ВС, используя технику теории массового обслуживания и методы приближенных вычислений.
Будем полагать, что если система находится в состоянии j Е Е", то она имеет j отказавших машин. Тогда P; (t) будет вероятностью того, что в системе имеется j Е Ео отказавших машин в момент времени t > 0.
Функция надежности R(t) является вероятностью того, что на промежутке времени [0, t) ВС, находящаяся в начальный момент времени в состоянии j Е Е"', ни разу не войдет ни в одно из состояний подмножества
Ее = {N — п +1, N — п + 2, ..., N} . Назовем Ее множеством поглощающих состоя-
ний, т. e. таких, которые нельзя покинуть после попадания в них [211.
B силу сделанных предположений функционирование ВС описывается мар-
ковским процессом c конечным числом состояний. Поэтому ввиду ординарности потоков отказов и восстановлении
R(t) =1— РN_„+, (н), |
(П.1.1) |
где РN_„+, (t) можно рассматривать как вероятность того, что за время |
t система вой- |
дет в состояние (N — п +1). |
|
|
511 |
|
|
|
|
Приложения |
|
|
Учитывая, что Е « |
множество поглощающих состояний, легко составить |
|
систему дифференциальных уравнений для Р; (t), |
j Е Е', которая описывает |
|
функционирование ВС: |
|
|
|
Ро(t) = -АТАА |
н) + |
(t); |
|
|
|
(N — h + 1)?J (t) - [(N — h)?" + hl.L]Ph(t) + (h + 1)Щ (it), h <т; |
|
Р,'(t) = (N — h + 1)А.Рн-1 (t) — [(N — h)?, + тµ]Рн (В) + т1.аРн+1 (t), h т; |
|
|
|
|
h =1, 2, ..., N — п —1; |
(п.1.2) |
|
РN- n Сн) — |
J(n + 1)?,РN-п_, (t) — [па, + (N — п)µ]РN- п(t ), |
(N — п) < т; |
|
1 |
1)?"РN- |
-, (t) — [п » + тµ]Р |
—(п+ |
|
|
|
|
п |
N_fl (t), |
(N п) т, |
РN-п+1 ( н) = п?PN- п (t)•
Задавая начальные условия
Р; (0) =0, jE {0,1,...,i- 1,i+1,...,N—n+1}, Р(0) =1, iE{0,1,...,N—n},
решим (П.1.2) относительно РN_п+1 (t), (П.1.1). Для этого умножим каждое уравне-
ние (П.1.2) на е-в` и проинтегрируем его по t от 0 до х. Применяя преобразование Лапласа
|
ah (s)=Je st Ph (t)dt, |
h = 0,1, ..., N — п + 1, |
|
|
0 |
|
|
|
получим алгебраическую систему уравнений: |
|
|
S0 = (N?" + s)а0 (в) 1аа1 Св)^ |
|
|
|
|
—(N — h + 1)?"ah_, (s) + [(N — h)?" + hµ + s]ah (s) — (h + 1)µаh+1 (s), h < т; |
Sh = ^ —(N — h + 1)a,ah-, (s) + [(N — h)k + тµ + s]аh (s) — тµa,i+1 (s), |
h> т; |
|
h = 1,2, ... , N —п - 1; |
|
|
|
1 |
_ Г—(п + 1)?'.аN_„+1 (s) + [nk + (N — п)µ + siaN_fl(s), |
(N — п) < in; |
N- n |
-i—(п + l)?"aNfl+1 (s) + [п?» + тµ + s]aN_п (s), |
(N — n) > т; |
0 = —nl1,aN_п (s) + saNfl+l (s)• |
|
|
|
Здесь Sh = 1 при h = i и bh = 0 при h ^ i. |
|
|
|
|
Решал систему (П.1.3) по правилу Крамера, найдем |
|
|
_ п^,(п+1)^,•...• (N |
—_ (N— i) |
!^, N-;- |
о;(в) |
|
aN _ + 1 (s) — |
(п — 1)! .sONn+I (s) |
|
sЛN -п+1 (s) |
где 0! (s) определитель, образованный первыми i-ми строками и первыми i-ми
столбцами определителя ON-п+1 (s); s0N-n+1 (s) |
определитель системы (П.1.3). |
