khor32

10.2. Показатели потенциальной живучести вычислительных систем

SZ (k)

Рис. 10.1. Производительность вычислительных систем: a — ВС со структурной избыточноcтью; 6— живучие ВС

Вычислительные системы c программируемой структурой обладают наиболее гибкими структурными возможностями для такой виртуализации

(см. гл. 7).

10.2. Показатели потенциальной живучести вычислительных систем

K набору показателей потенциальной живучести BC (характеризующих предельные возможности систем) предъявляется комплекс требований, аналогичный набору для показателей надежности (см. § 9.3). Показатели живучести BC должны учитывать то обстоятельство, что при решении задач

используются все исправные ЭМ, число которых не постоянно. Говоря инa-

чe, при определении показателей живучести следует учесть то, что пapaл-

лeльныe программы сложных задач при их реализации на живучих BC способны зaдeйcтвoвaть суммарную производительность всех работоспособных

ЭМ системы.

Качество функционирования живучих BC будем характеризовать их функциями потенциальной живучести N(i,t) и занятости восстанавливаю-

щей системы М(i, t), вектор-функциями R(t), U(t) и S(t) BC. Фyнкции

N(i, t) и sW(i, t) характеризуют в момент времени t 0 среднюю производительность BC и среднюю загруженность восстанавливающей системы, если BC начала функционировать c i E Е работоспособными ЭМ. Вектор функции R(t), U(t), S(t) являются обобщениями функций надежности

(9.6), вoccтaнoвимocти (9.7) и готовности (9.10) BC.

463

где (2(i, 1) — математическое ожидание производительности BC в момент t > 0 при условии, что в момент начала функционирования в системе было i работоспособных ЭМ, i E Е', No) — суммарная производительность всех

машин BC; N — общее количество ЭМ системы; w — показатель пpoизвo-

дитeльнocти одной ЭМ (см. § 2.6).

Очевидно, что для n(i, t) допустимо представление в виде

S2(i, t) _ 11(i, t)0), где 1(i, 1) — среднее число работоспособных машин в

устройств в момент времени t > о при условии, что ВС начала функционировать в состоянии i Е Е( '; т число устройств в восстанавливающей системе.

Вектор-функция

где координата Rk(t) определяется как вероятность того, что пpoизвoди-

тeльнocть системы, начавшей функционировать в состоянии 4 k i N, не менее производительности k машин на всем промежутке времени [0, 1),

E„” = {п, п +1, ..., N}. Учитывая (9.6) и (10.5), запишем:

Rk (t) = P{di E [0, t) –> S2(г) ^ Akkш I k ^ i < N};

Rk (t)=P{'diE[0, t)-(ti)

здесь S2(i) и (i) — соответственно производительность BC и количество

исправных машин в системе в момент времени i E [0, t); i — начальное co- cтoяниe BC.

464

10.2. Показатели потенциальной живучести вычислительных систем

где координата Uk (t) является вероятностью того, что в BC, имеющей начальное состояние i, 0 < i < k, будет восстановлен на промежутке времени уровень производительности не менее k ЭМ. Основываясь на (9.7) и[0,t)

(10.7), сделаем формальную запись:

ность системы, начавшей работать в состоянии i Е Е, не менее производительности k ЭМ:

Sk (t) = P{'2(t) > Akkw I i E E" };

рактеризовать потенциальную живучесть BC в стационарном режиме paбo-

ты. Пределы

465

10. Живучесть вычислительных систем

не зaвиcящиe от начального состояния i E Е' (10.3), (10.4), назовем коэффициентом пomeнцuaльнoй живучести BC и коэффициентом занятости восстанавливаю щей системы соответственно.

Воспользовавшись опытом обобщения (10.5), (10.7) показателей (9.6), (9.7) на случай живучих BC и формулами (9.13), (9.14), можно без особого труда определить вектор-функции оперативной надежности u вoccmaнo-

где величины P вычиcляютcя по (9.50), (9.51).

Совокупность величин Sk =1im Sk (t) , не зaвиcящиx от начального co-

г—^o

называется вектор-коэффициентом готовности.

Введенные показатели достаточно полно характеризуют поведение

живучих BC в переходном (10.3)-(10.12) и стационарном (10.13)-(10.19) режимах функционирования. Уместно подчеркнуть значение для практики

лишь показателей (10.3) и (10.4). По функции потенциальной живучести BC

судят o том:

1) как быстро система, начавшая функционировать в одном из возможных состояний, войдет в стационарный режим работы (10.13);

2)какую производительность в среднем может обеспечить система в любой момент времени (10.3) или при длительной эксплуатации (10.13), roвopя иначе, на сколько машин в среднем можно рассчитывать в момент пocтyплeния задачи;

3)сколько машин в среднем может быть использовано при решении

задачи (сколько в среднем ветвей будет иметь место при реализации aдaп-

тиpyющeйcя параллельной программы).

466

10.3. 0 методике расчета показателей живучести вычислительных систем

Функция занятости восстанавливающей системы дает следующую информацию:

1) за какое время после начала работы ВС наступит установившийся режим восстановления отказавших машин (10.14);

2) как загружены в среднем восстанавливающие устройства на начальном участке работы ВС (10.4) и после длительной ее эксплуатации (10.14) или насколько эффективен выбранный состав восстанавливающих устройств.

При численном экспериментировании введенные функции потенциaльной живучести ВС и занятости восстанавливающей системы позволяют подобрать оптимальные параметры единого комплекса «вычислительная система восстанавливающая система».

Таким образом, в живyчиx ВС обеспечивается максимум эффективности использования вычислительных ресурсов при решении сложных задач.

B любой момент времени для решения сложных задач привлекаются все работоспособные ЭМ (если их число не менее п). Это сокращает время реше-

ния сложной задачи, но требует составления специальных программ c информационной избыточностью, т. e. адаптирующихся параллельных прогpамм. Процесс составления таких программ несущественно сложнее, чем написание программ c фиксированным числом параллельных ветвей.

10.3. о методике расчета показателей живучести вычислительных систем

Живучие BC представляют собой обобщение систем co структурной

избыточностью, следовательно, методика расчета координат вектор-

фyнкций (10.5), (10.7) и (10.11) ocтaeтcя неизменной по сравнению c мeтo-

дикой расчета функций надежности (9.6), вoccтaнoвимocти (9.7) и готовности Более того, если в расчетных формулах для показателей надежности(9.10).

заменить п на k, то получим формулы для координат соответствующихBC количественных характеристик живучести. Так, например, заменив n на k,

можно использовать формулы (9.20) и (9.21) для расчета компонентов век тopoв соответственно среднего времени безотказной работы (10.9) и cpeднero времени восстановления BC (10.10). Аналогичная процедура превращает

и (9.43) в расчетные формулы для координат вектор-функций опера- (9.36)

тивной надежности

Функции потенциальной живучести BC (10.3) и занятости восстанавливающей системы (10.4), безусловно, могут быть рассчитаны по известной

схеме (см. § 9.4), теории массового обслуживания. Пусть известно pacпpe- дeлeниe вероятностей состояний системы {P;(i, t)}, j, i E Е( , i — началь-

ное состояние BC, тогда математическое ожидание числа работоспособных ЭМ

467

10. Живучесть вычислительных систем

a среднее число занятых восстанавливающих устройств

Из формул (10.20) и (10.21) следует, что сложность вычисления функций потенциальной живучести ВС и занятости восстанавливающей системы не менее сложности расчета функции готовности ВС (9. 10). Расчет существенно упрощается для стационарного режима работы ВС, однако и он не может быть выполнен без ЭВМ для практически необходимых значений N (от 10 до 106). Последнее следует из (9.50), (9.51), (10.20) и (10.21).

Как же преодолеть указанную трудность? Ясно, что кардинальный путь может быть основан лишь на новой стохастической модели функционирования ВС, которая:

1)была бы воплощением принципа квазианалогии (см. § 9.4);

2)приводила бы к простым формулам, допускающим счет без применения ЭВМ и для больших значений N.

При исследовании потенциальной живучести ВС вместо рассмотрения

всего ее пространства состояний Е = {0,1, ..., N}, т. e. учета функциониро-

вания каждой ЭМ, можно изучать поведение системы в целом как ансамбля большого числа идентичных ЭМ. Такой подход основывается на допущении, что в любой момент времени производительности вычислительной и восстанавливающей систем пропорциональны соответственно не случайному числу исправных ЭМ и не случайному числу занятых ВУ, a математическим ожиданиям соответствующих чисел. Допущение естественно для большемасштабных ВС (для систем c большим числом ЭМ и ВУ), в которых случайности, связанные c выходом ЭМ из строя или их восстановлением, либо c включением ВУ в ремонт ЭМ или освобождением ВУ, мало сказываются на значениях суммарной производительности систем. Эти значения для каждого момента времени оказываются близкими к средним значениям производительности систем. Случайности, связанные c выходом машин из строя и освобождением ВУ, сказываются, если количество работоспособных ЭМ в ВС становится небольшим или если число занятых устройств в вос-

станавливающей системе становится близким к m. Однако вероятности таких событий при существующем уровне надежности микропроцессоров

(Х-1 < 10к ч) чрезвычайно малы.

B работах по исследованию операций (см., например [25]) установлено, что при описании динамики боя вполне допустима замена случайного

468

10.3. 0 методике расчета показателей живучести вычислительных систем

Резерв

Рис. 10.2. Модель функционирования живучей ВС

числа его средним, если число элементов в каждой из систем противников не менее 50. B [5] показано, что такая замена применительно к ВС допусти-

ма, даже если число элементов (таких, как ЭМ, вычислительные модули, процессоры) на порядок меньше. Это объясняется тем, что в бою имеются два процесса взаимного уничтожения сторон, в то время как в ВС есть только один процесс уничтожения (поток отказов) и, кроме того, второй процесс

приводит к регенерации ресурсов (процесс восстановления отказавших ЭМ).

На основании вышесказанного при изучении потенциальной живучести ВС за основу берется стохастическая модель функционирования, представленнaя на рис. 10.2. Производительность ВС в любой момент времени t > 0 определяют машины вычислительного ядра, т. e. те работоспособные ЭМ, которые непосредственно используются для реализации адаптирующейся параллельной программы. Пусть 1(i, t) математическое ожидание

числа работоспособных ЭМ, на которых выполняeтся в момент t > 0 адаптирyющaяся программа; i число работоспособных машин при t =0, т. e.

Итак, считаем, что машин в момент t > 0

ляют вычислительное ядро ВС.

B случае отказа ЭМ «покидает» вычислительное ядро и берется на учет реконфигуратором ВС. Пусть среднее число отказавших

ЭМ, учитываемых реконфигуратором ВС в момент t > 0, i Е Е. Реконфи

гуратор исключает из вычислительного ядра отказавшие ЭМ, образует из оставшихся работоспособных ЭМ связную подсистему, сокращает число

параллельных ветвей в адаптирующейся программе и организует ее прохож-

дение на вычислительном ядре c новой структурой. B результате выполне-

469

10. Живучесть вычислительных систем

ния таких функций реконфигypатор c интенсивностью v' «переключает» отказавшие ЭМ из ядра в число машин, подлежащих восстановлению. Пусть

.Х(i, t) математическое ожидание числа отказавших машин, учитываемых восстанавливающей системой.

Как и ранее, ?19(i, t) среднее число устройств, занятых восстанов-

лением отказавших ЭМ; t интенсивность восстановления отказавших ЭМ одним ВУ. После восстановления ЭМ берутся на учет реконфигуратором ВС. Пусть L"(i, t) среднее число восстановленных ЭМ, взятых на учет реконфигyратором ВС. Включение восстановленных ЭМ в состав ядра осуществляется c интенсивностью v". Среднее время 1/ v" такого включения зависит от времени образования связного подмножества машин из существовавшего ядра и восстановленных ЭМ, времени перенастpойки параллельной программы на большее число ветвей и времени запуска этой прогpаммы на вновь созданном ядре.

При изучении большемасштабных реконфигурируемых ВС, как уже отмечалось в § 9.4, используются виртyaльные восстанавливающие устройства, и ремонт обнаруженных отказавших ЭМ сводится к их замене на машины из резерва. B этих случаях интенсивность µ воспринимается как среднее число машин резерва, включаемых в единицу времени одним виртуальным ВУ в состав вычислительной системы.

Очевидно следующее равенство:

L(i, t)+.J((i, t) + 11(i, 1) = N,

где t(i, t) = !'(i, t) + "(i, t) среднее число ЭМ, c которыми работает реконфигуратор ВС. Численные исследования показали, что учет интенсивностей переключения v' и v" ЭМ в состав машин, подлежащих восстановлению, и в

состав вычислительного ядра мало изменяет значения функций потенциальной живучести ВС и занятости восстанавливающей системы. Предположение o том, что такие переключения ЭМ совершаются мгновенно, при существую-

щиx параметрах а, и µ и алпаратурно-прогpаммныx средствах реконфигура-

ции ВС практически оправданно [5]. Поэтому далее будем считать, что

1/v' = 1/ v# = 0; оС'(i, t) = 0; .Х(i, t) = N — 11(i, t), i Е Е7

Таким образом, при анализе потенциальной живучести ВС достаточно знать математическое ожидание числа работоспособных ЭМ и числа занятых ВУ и не описывать дискретно каждое состояние системы (трудоемкими методами теории массового обслуживания).

Описанный подход к анализу потенциальной живучести большемасштабных ВС был предложен автором настоящей книги и назван контину-

альным.

470

10.4. Расчет функции потенциальной живучести вычислительных систем

10.4. Расчет функции потенциальной живучести

вычислительных систем

Из формул (10.3) и (10.4) следует, что расчет функций потенциальной живучести ВС DV(i, t) и занятости восстанавливающей системы М(i, t) сво-

дится к вычислению математических ожидании соответственно числа исправных ЭМ и числа занятых ВУ в момент времени t > 0

при условии, что в начальный момент t = 0 было i Е Е работоспособных машин.

Прежде чем вывести дифференциальные уравнения для

IV(i, t) , получим вспомогательные оцешт. Учитывая (2.14), (2.15) и (2.21),

найдем вероятность того, что в ЭМ произойдет не менее одного отказа за

время At:

^

1 - r(or) = r, (or) + 4 (6,0= ,ote 'ы + o(At) = ?',or[i - ?«At + k=2

+ o(Ot )] + o(At) = ?«(At) + o(At) = r, (Ot) + o(Or).

Следовательно, в машине за время At может произойти только один отказ c вероятностью ,Аt; вероятность появления за At более одного oткaзa есть величина порядка o(At).

Вспомним (2.14), что ?. — среднее число отказов, появляющихся в

машине за единицу времени, следовательно, 11(i, t)Аt есть среднее число отказов, возникающих в системе на промежутке времени [t, t + At). Пo- cкoлькy за время At в машине может произойти не более одного отказа, то 11(i, ОХлt и будет средним числом ЭМ, вышедших из строя на промежутке времени [t, t + At). Аналогично рассуждая, убеждаемся, что i'Y1(i, t)µАt есть среднее число восстановленных ЭМ на промежутке времени [t, t + At),

1EEо' .

Легко заметить, что математическое ожидание числа исправных ЭМ в BC в момент времени (t + At) равно этому числу в момент t, уменьшенному

на среднее число отказавших машин и увеличенному на среднее число вoc-

Перенеся 11(i, t) в левую часть (10.22), разделив на At и перейдя к пределу при At – 0, получим уравнение

471

10. Живучесть вычислительных систем

где i E EN_„, _ {N–m, N–m+],..., N}.

Область определения устанавливается из следующего: неравенство

(10.25) должно выполняться и при t = 0, a в начальный момент y/(i, 0) = i,

значит, (10.25) превращается в неравенство N – i m.

B рассматриваемом случае уравнение (10.23), как легко установить из (10.24), (10.25), трансформируется к виду

µµ

472