khor32

9.1. Производительность вычислительных систем

пределенные ВС обладают свойством масштабируемости (Scalability), a ар-

хитектурно гибкие их представители характеризуются и программируемо-

стью структуры (structure Programmability).

B гл. 3 и 7 отмечалось, что ВС рассчитаны на работу в моно- и мультипрограммных режимах. B первом случае для решения любой задачи отводятся все ресурсы ВС, a во втором лишь часть из них. Очевидно, что монопрограммный режим целесообразен при решении на ВС сложных или трудоемких задач (см. разд. 3.3.4). К последним относят задачи, для решения которых требуется выполнить достаточно большое количество операций. Например, для ВС, состоящей из N ЭМ, сложной можно считать задачу c числом операций порядка N .101, где 1 Е {1, 2, 3, ... } .

Пусть N число ЭМ в распределенной ВС (c программируемой структурой). Будем говорить, что система находится в состоянии k Е Е ( , Е = {0, 1, 2, ... , N}, если в ней имеется k исправных ЭМ. Теоретически (на

основе анализа параллельных алгоритмов) и экспериментально (пyтем реа-

лизации параллельных программ сложных задач на действующих ВС) пока-

зано, что производительность (Performance) системы, находящейся в со-

стоянии k Е Е", равна

где ш — показатель производительности ЭМ; A k — коэффициент. B качестве w может быть использовано быcтpoдeйcтвиe по Гибcoнy, номинальное и среднее быcтpoдeйcтвия машины (см. разд. 2.6.2).

Линейная зависимость производительности BC от количества ис-

правных ЭМ — следствие применения методики крупноблочного pacпa- paллeливaния сложных задач (см. § 3.3). Суть методики состоит в oднo-

poднoм разделении задачи на крупные блоки — пoдзaдaчи, между кoтo- pыми существует слабая связность. Говоря иначе, методика предписывает организацию таких однородных параллельных ветвей алгоритма решения сложной задачи, общее число операций в которых много больше числа операций обмена информацией между ветвями. Ясно, что это oбecпeчи-

вaeт высокую эффективность реализации параллельных программ cлoж-

ныx задач и, следовательно, значение коэффициента A k, близкое к eдини-

цe. Практически (на основе обработки результатов решения сложных задач различных классов на BC) установлено, что коэффициент A k не менее

единицы (Ak 1). Это неравенство объясняет «парадокс параллелизма»

(см. разд. 3.3.3) и является следствием «эффекта памяти» (в BC coкpaщaeтcя количество обращений к внешним запоминающим устройствам, бы- cтpoдeйcтвиe которых меньше скорости передачи информации по кaнa-

413

9. Надежность вычислительн нх систем

лам связи между ЭМ) и применения новых методов решения сложных

задач, не реализуемых на ЭВМ.

Формула (9.1) остается верной и при работе распределенных ВС в мультипрограммнык режимах (при обработке наборов задач или обслуживании потоков задач, см. рaзд. 7.2.2). B самом деле, в таких системах в отличие от матричных ВС каждая ЭМ обладает свсим устройством управления. Следовательно, в распределенных ВС имеется возможность одновременной реализации нескольких программ, причем каж цои на своей части системы, т. e. на своей подсистеме. B пределе каждую 'ЭМ можно заставить решать свою задачу. Накладные расходы, связанные c мультипрограммной работой

распределенных ВС, зависят от методов и алгоритмов организации функционирования. Созданные методы и алгоритмI (см., например [5]) эффективно реализуются на ЭВМ и системах (не требуют большой памяти и значительного компьютерного времени) и обес: течивают высокую загрузку технических ресурсов. Можно ожидать, что пр и мультипрограммной работе распределенной системы будет иметь место А,, >0,85, k Е Е

Таким образом, реальная производительь:ость ВС будет не менее 85 % суммарной производительности ЭМ как для i vоно-, так и для мультипрограммных режимов. Заметим, что такой уровень достигнут в матричных

системах (в частности, в ILLIAC-IV, см. § 5.2) только в режиме реализации

одной параллельной программы на всех N элементарных процессорах. При выполнении программ, имеющих число ветвей 1 < N, в матричных ВС бу-

дет простаивать (N —1) элементарных процессоров.

Раскрытию взаимосвязи между надежностью (безотказностью) и производительностью ВС и посвящена данная глава.

9.2. Вычислительные системы со структурной избыточностью

Вычислительные системы компонуются в общем случае из неабсолютно надежных ЭМ (см. § 2.8). Пусть интенсивность потока отказов в любой из N машин (см. (2.12), (2.14)). Следовательно, величина А, -' - среднее время безотказной работы одной ЭМ (или средняя наработка до отказа ЭМ).

Отказы, возникающие в ВС, устраняютс:i при помощи процедуры вос-

становления. Последняя предусматривает и контроль функционирования ВС, и локализацию неисправных ЭМ, и их ремонт или замену на исправные

машины, например из резерва. Будем считать, что эта процедура реализуется при помощи восстанавливающей системы , состоящей из т устройств,

1 тN.

414

9.2. Вычислительные системы со структурной избыточностью

После отказа ЭМ либо поступает на обслуживание в любое свободное восстанавливающее устройство (ВУ), либо (если таковых нет) ставится в очередь на восстановление. Считается, что в каждый момент времени любое из m ВУ может быть либо свободным, либо занятым восстановлением не более одной ЭМ. Пусть t интенсивность восстановления (2.18) отказавших ЭМ одним ВУ. Из сказанного следует, что в системе допустимы пере-

ходы из состояния k Е Е' как в состояние k —1 (k ^ 0), так и в состояние k+1(k^N).

B теории потенциальной надежности ВС введены системы со структypной избыточностью, которые являются обобщением систем c резервом [5, б] . Вычислительные системы со структурной избыточноcтью c позиций архитектуры и способов обработки информации не являются специальным

классом систем в ряду: конвейерные, матричные, мультипроцессорные ВС,

ВС c программируемой структурой и т. д. Вычислительная система со

структурной избыточностью по существу представляет собой виртуаль-

ную ВС или, точнее, программно-настроенную конфигурацию, в которой:

1)вьщелены основная подсистема (вычислительное ядро) из n ЭМ и подсистемы, подчиненные основной и составляющие избыточность из

(N—n) машин (п ^ 0, п Е Е");

2) основная подсистема предназначена для решения сложных задач,

представленных параллельными программами из п ветвей, a любая подчи

неннaя подсистема для решения фоновых задач;

3) функции отказавшей ЭМ основной подсистемы может взять на себя

fl, если k > n;

(9.3)

0, еслик<п;

х^ производительность (точнее, один из показателей производительности) ЭМ; ср(п, со) неубывающaя функция от n и ха (как правило, ср(п, со) = пш).

Очевидно, что для решения сложных задач требуются ВС c массовым параллелизмом и, следовательно, параллельные программы c большим числом ветвей. При этом можно считать, что n » (N — n), и произво-

дительность основной подсистемы будет близка к суммарной производительности ВС.

415

9. Надежность вычислительных систем

Таким образом, ВС со структурной избыт ^чностью выглядит для пользователей как (виpтуaльнaя) система из n ЭМ. Эта же ВС c позиций проектировщиков и эксплуатационников выглядит как система c высоким уровнем надежности, который достигается за счет (N — i) избыточных машин. Вели-

чина (N — n) структурной избыточности в таких системах изменяется про-

граммно, но для заданной сложной задачи (для выбранной области применения ВС) она постоянна. Значение n (и, следовательно, N — n) выбирается из

требований обеспечения производительности и надежности ВС. Параллельная программа решения задачи имеет фиксированный объ-

ем информационной избыточности, которая используется для того, чтобы исправная ЭМ структурной избыточности мог. та взять на себя функции от-

казавшей ЭМ основной подсистемы. Информационная и структурная избыточности не уменьшают времени решения задачи, a увеличивают надеж-

ность работы ВС в целом (как аппаратypно-программного комплекса).

9.3. Показатели надежности вычислительных систем

Для количественного анализа работы ВС используется набор показателей надежности. Главное требование, которое предъявляется к набору, это обеспечение полноты характеристики качества функционирования ВС. Следовательно, должны быть показатели, характеризующие производитель-

ность ВС и в текущий момент времени, и на промежутке времени, a также показатели, позволяющие оценить способность системы к восстановлению заданного уровня производительности после отказа ее отдельных машин. Среди показателей надежности ВС, безусловно, должны быть такие, которые характеризуют поведение систем и на начальном этапе функционирования (в переходном режиме), и при длительно: 1 эксплуатации (в стационарном режиме).

Как было показано ранее (9.1), производительность ВС определяется числом исправных машин. Ясно, что в условиях, когда имеются отказы и

восстановления машин, число исправных ЭМ в системе в момент времени t > 0 есть случайная функция, обозначим ее -iерез 4(t). Пусть i

ное состояние ВС, т. e. число исправных ма:иин в системе при t = 0, где i Е Е" Функция 4(t) определяется начальным состоянием i ВС (следова-

тельно, моментами освобождения восстанавливающих устройств, которые были заняты ремонтом при t = 0), моментам 4 появления новых отказов в

машинах (или поступления новых отказавших машин на обслуживание ВУ), моментами устранения новых отказов.

416

9.3. Показатели надежности вычислительных систем

Пусть в некоторый момент времени t` известно число исправных ма-

шин в системе, т. e. 4О* ). Очевидно, что значения 4(t) после t * (дальнейшее течение процесса обслуживания отказавших машин восстанавливаю-

щими устройствами) не зависят от того, что было до t * C одной стороны, моменты освобождения занятых ВУ не зависят от того, что было до t * , так как закон (2.18) распределения времени восстановления машины экспоненциальный. C другой стороны, моменты появления новых отказов не зависят от того, что было до t * , так как поток отказов простейший (2.15) и,

следовательно, в нем отсутствует последействие. Независимость окончания

устранения новых отказов в ЭМ от t* также следует из закона (2.18). Таким образом, все величины, определяющие 4(t), не зависят от того, что было до

момента времени t* Такие случайные процессы, течение которых не зависит от прошлого, называются марковскими процессами. Следовательно, (t)

является марковским случайным процессом.

Обозначим через {Р; (i, t) } распределение вероятностей состояний

системы в момент t > 0 при условии, что в начальный момент времени бы- N

вероятность того, что в системе, начавшей функционировать в состоянии i Е Е'', в момент t > 0 будет j Е Е исправных машин:

(9.4)

Тогда вероятность P; (i, 1) (i, j Е Ео) и будет показателем, характеризующим поведение ВС в переходном режиме функционирования. Очевидно, что при i ^ j, i, j Е Е'', имеют место равенства: P; (i, 0) = 0, 1(i, 0) =1.

Используя результаты теории массового обслуживания, нетрудно показать, что распределение {Р; } (j Е Е), где

не зависит от начального состояния i Е Е ВС. Следовательно, P (j Е Ео )

есть показатель надежности для стационарного (или установившегося) режима работы ВС.

9. Надежность вычислительных систем

Переходный режим функционирования BC характеризуется дeтepмeниpoвaннo заданным начальным состоянием, a стационарный — распреде-

лением вероятностей состояний {P, }, таким, что для всякого j E Е (т. e.

Vi E EON) имеет место P ^ 0.

Для характеристики качества функционирования BC (co структурной

избытoчнocтью) в переходном режиме используются функции от времени

1: R(t), U(t) и S(t) — соответственно функция надежности (вероятность

безотказной работы), функция восстановимости (вероятность вoccтaнoвлe-

ния) и функция готовности BC.

Функцию надежности определим как вероятность того, что производительность BC, начавшей функционировать в состоянии i (n i < N)

на промежутке времени [0, t), равна производительности основной пoдcucmeмьa. Приведем формальную запись определения функции надежности BC:

R(t) = P{b'г E [0, t) -+ S2(г) = A„иwf п ^ i ^ N},

где Q(т) производительность системы в момент времени Т.

Говоря иначе, функция R(t) есть вероятность того, что в системе, начавшей функционировать с i, n < i < N, исправными машинами, на промежутке времени [0, t) будет не менее n исправных машин :

Очевидно, что R(0) = 1, R(+oo) = 0.

Под функцией восстановимости будем понимать вероятность того, что в BC, имеющей начальное состояние i (0 i < п), будет восстановлен

на промежутке времени [0, t) уровень производительности, равный пpouз

вoдumeльнocrrгu основной подсистемы. Функцию восстановимости BC можно определить c помощью двух эквивалентных выражений:

Очевидно, что U(0) = 0, U(+oo) = 1.

B инженерной практике наиболее употребительны не R(t) и U(t), a

математическое ожидание времени безотказной работы (средняя нapaбoткa

дo отказа) и среднее время восстановления BC, которые по определению соответственно равны:

418

9.3. Показатели надежности вычислительных систем

(см. формулы (2.11) и (2.18)).

Функцией готовности назовем вероятность того, что производительность системы, начавшей функционировать в состоянии i Е Е, равна в момент времени t > 0 производительности основной подсистемы:

s(t) = P{0(t) = Апп(4 Е Ео }.

Говоря иначе, функция S(t) есть вероятность того, что при t > 0 чис-

ло исправных ЭМ в ВС, имевшей начальное состояние i Е Е", не менее числа машин основной подсистемы:

Из определения следует, что 0 < s(+) < 1,

1, если п < i < N; 0, если 0i <п

для нeвoccтaнaвливaeмыx BC R(t) = S(t). Если учесть (9.4) и (9.10), то функцию готовности системы можно выразить через вероятности ее состояний:

j=п

Таким образом, функции надежности u готовности характеризуют способности BC обеспечить требуемое быcmpoдeйcmвue на промежутке времени [0, t) .0 в момент t 0 соответственно. Функция вoccmaнoвuмo-

cmu раскрывает возможности системы к восстановлению, m. e. характеризует способность системы приобретать требуемый уровень пpouзвoдumeльнocmu после отказа всех избыточных машин u части машин основной подсистемы.

Предельные значения показателей (9.6), (9.7), (9.10) при t -+ ю будут

характеризовать надежность BC в стационарном режиме работы. Однако

для данного режима такие показатели, как R(t) и U(t), не информативны:

9. Надежность вычислительных систем

Поскольку имеет место (9.12) и есть практическая потребность в

оценке на промежутке времени производительности BC, находящихся дли-

тeльнoe время в эксплуатации, то целесообразно рассматривать две фyнк-

ции: R'(t) и U* (t) (которые могли бы быть названы как функции оперативной надежности u вoccmaнoeгcмocmu BC').

Функция R' (t) определяется как вероятность того, что пpoизвoди-

тeльнocть системы, которая в начальный момент находится в состоянии i, п i N, c вероятностью P (9.5), равна на промежутке времени [0, t)

производительности основной подсистемы. Приведем формальную запись данного определения:

R* (t) =Р{V Е[О,н) -+0(т)=Апп(о'Р, ZEE„ },

или же, что эквивалентно,

Под функцией U* (t) понимается вероятность того, что в ВС, находящейся в начальном состоянии i, 0 < i < n, c вероятностью Р (9.5), на промежутке времени [0, t) будет восстановлен уровень производительности

основной подсистемы. Приведем два эквивалентных выражения для данной

функции:

n-I

Из определения U`(t) следует, что U" (0) = 1 — P.

=o

B отличие от функций надежности (9.6) и вoccтaнoвимocти (9.7) функция готовности (9.10) может быть использована в качестве количест -

венной характеристики стационарного режима работы BC. B самом деле, из

(9.10), (9.11) и (9.5) следует, что

чинy S называют коэффициентом готовности BC. Он является самым рас-

420

9.4. 0 методике расчета показателей надежности вычислительных систем

простpаненным показателем для стационарного режима функционирования ВС.

Отметим прикладное значение введенныx показателей надежности ВС. Показатели надежности устанавливают взаимосвязь между производитель-

ностью и собственно надежностью ВС. Следовательно, показатели надеж-

ности позволяют, во-первых, подобрать такой состав вновь компонуемой ВС, при котором обеспечиваются заданные уровни и производительности, и надежности; во-вторых, проанализировать качество работы существующей ВС и оценить ее возможности по решению задач. Последнее важно знать и при организации контpольно-профилактическиx и диагностических работ в ВС и при организации прохождения задач пользователей. Так, показатели надежности для переходного режима работы ВС позволяют получить следyющyю информацию:

1. C какой вероятностью задача пользователя будет решена, если в момент ее поступления производительность ВС не менее требуемой (9.б); говоря другими словами, сможет ли пользователь успеть решить свою задачy до отказа системы (9.8)?

2.Как быстро можно ожидать восстановления требуемого для пользователя уровня производительности, если в момент поступления задачи производительность ВС низка (9.7), (9.9)?

3.Будет ли ВС иметь необходимую производительность (точнее, c какой вероятностью она будет ее иметь) в момент поступления задачи в системy (9.10)?

Показатели надежности для стационарного режима функционирова-

ния ВС, в частности, информируют o следующем:

1. Могут ли быть решены поступающие задачи, если система длительно эксплуатируется? Могут ли быть решены задачи, если в момент их постyпления достоверно неизвестно, в каком состоянии находится система (9.13)?

2.Сколь быстро можно ожидать восстановления требуемого уровня производительности в условиях, когда ВС уже длительно эксплуатируется (9.14)?

3.Будет ли система иметь необходимую производительность в любой

момент поступления задачи, если она уже достаточно долго находится в эксплуатации (9.15)?

9.4.0 методике расчета показателей надежности

вычислительных систем

K методике расчета показателей качества работы ВС предъявляются следующие требования:

9.Надежность вычислительных систем

1)приемлемость методики к большемасштабным и масштабируемым ВС, или, иначе говоря, к ансамблям c любым количеством одинаковых ЭМ или процессоров;

2)адекватность стохастических моделей функционирования ВС реальному процессу их работы или реализации принципа квазианалогии, который применительно к рассматриваемой проблеме гарантирует не подобие между стохастическими моделями и функционированием ВС, a удовлетворительную для практики точность расчетов;

з) единообразие методов и приемов исследования функционирования ВС как в переходном, так и в стационарном режимах;

4)простота численного анализа функционирования ВС при произвольном количестве машин (определение числовых значений показателей функционирования ВС не должно быть связано c трудоемкими вычислениями, т. e. c решением сложных задач, доступных мощным средствам ВТ);

5)возможность выявления общих количественных закономерностей по производительности и надежности функционирования ВС, которые от-

ражaют достигнутый и перспективный уровни технологии ВТ.

При расчете показателей надежности за основу берется стохастическая модель функционирования ВС, представленная на рис. 9.1. B случае отказа одной или нескольких ЭМ основной подсистемы и после их локализации (диагностики ВС) требуется реконфигурация ВС в целом. C помощью реконфигypатора в пределах ВС порождается новая конфигурация основной

ности, может выступать модернизированный вариант основной подсистемы,

который включает все исправные ЭМ исходной подсистемы и необходимое число исправных ЭМ структурной избыточности. B рамках сказанного

Вычислительная система,

N ЭМ

Подсистема отказавших ЭМ

t^

Реконфигypатор BC

I

Структурная избыточность,

(N- п) ЭМ

J

Рис. 9.1. Модель функционирования ВС со структурной избыточностью

422