Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1260 вузов, 4603 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Таврическая академия (филиал КФУ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

khor32

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
8.16 Mб
Скачать
☆

П.1. Расчет функции надежности вычислительных систем

Разлагая определители А; (s) и A N_„+, (s)

по последнему столбцу, получим

рекypрентные соотношения:

 

 

Ah+l (s) = [s + (N — h) + hµ]A h (s) — (N — h + 1)?'hµA,,_, (s), h < m;

(П.1.5)

Oh +,(s) = [s+ (N—h)?,+тµ]Ah (s)—(N—h+1)mµAh_,(s), h т;

 

h = о,1, ..., i —1 для е; (s); h = о,1, ..., N — п для

еN-п+, (s); е_, (s) = о;

Л0 (s) =1;

А, (s) = s + N.

 

 

После обращения преобразования Лапласа c учетом (П.1.4) имеем

 

(N - i)' N-л+1 -i

А; (s)е31

(П. 1.6)

N-п+1 (t) =

ds,

P

 

 

(n —1)!2л^ J sAN-п+1 (s)

 

c

где С контур, охватывающий все нули знаменателя, л = 3,14...

Используя методы вычислительной математики, легко найти корни АN_„+, (s), так как система многочленов A,, (s), h Е {1, 2, ..., N — п + 1}, удовлетворяющaя соотношениям (П.1.5), обладает следующими свойствами (см. [24]):

1)все корни А,, (s) различны и отрицательны;

2)корни соседних многочленов А,,_, (s) и А н (s) чередуются, т. e. между каждой парой корней полинома Ah_, (s) (в том числе между нулем и наименьшим по

модулю корнем) лежит один корень многочлена

3) сумма корней многочлена A,, (s) равна

—В,,=2N— h+1 lа h(h-1) ,

h т

 

 

2

 

 

2

µ

^ ,

 

В — 2N—h+1 hX—

2h—m-1 т h > т.

—

h

2

 

 

 

 

 

2

µ^

 

Эти свойства позволяют вычислить корни многочлена А N_„+, (s), например, c

помощью метода половинного деления.

 

 

 

 

Итак, пусть —а, , — а г , ..., — а1 , ..., — а N_

корни полинома А N _„+, (s), тогда

рациональную дробь

 

A; (в)

можно разложить на пpостеишие дроби:

sAN- л+1 (s)

 

 

Л1(s)

Af0

+

N-n+1

Af1

 

 

 

1_,

 

 

 

sAN_„+1 (s) _

s

s + a1

(П.1.7)

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

Аi1 =

А; (—а^ )^

_

 

 

^

.

 

[sA_ +1 (s)]s-- ,

Л_

1 (—а1 ) — a1AN-п+1 (—а1)

513

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А,0 = дi

(0) / ДN-п +1 (0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А,^

=

 

 

 

 

A (—а1)

,

 

l =1^

2^

...^

N—п + 1.

 

(П.1.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,`

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—a1ЛN-п+1 (—а1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая (П.1.6)—(П.1. 8), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(NLv

— i)1^N -п +1 -i

 

Oi ^O)

 

 

N -п

+1

Oi (—a^ )e

-a t

 

PN-п +1 (t) =

 

 

 

 

 

 

 

+ ^

 

(П.1.9)

 

 

 

 

 

 

(п — 1) !

О N -п+1 (0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1 (—а1)ЛN-п+1 (—а1)

Методом математической индукции, используя (П.1.5), легко показать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0h (0) =

 

 

t

 

^, ,

 

 

 

(Г(.1.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Oh (0)

определитель, обрaзованный первыми h строками и первыми h столб-

цами определителя 0 N-п+1 (0). Действительно, если h < т, то при

h =1 определи-

тель Л, (0) = N, a при h = 2 и h = 3 соответствующие определители равны

Л

2((0)

 

[(

N-1

)

%,+

µ]

N%,—Nл, =

N'I

^2•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

(N

—

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) .

 

 

 

 

 

0

0

=

[C

N - 2

)

^+ 2

 

 

N! ^2 — ( N- 1

2 ^,= N!

3) 1.

^з

 

з( )

 

 

 

 

 

 

 

µ] (N-2)!

 

 

 

 

 

) ^

(N

 

Допустим, что (П. 1.10) справедливо для

h = r;

докажем справедливость

(П.1.10) для h = r + 1. Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N !?,'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

(N - r) !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1с !

 

 

 

 

 

 

—(N—г+1),гµ

N !r

 

=

 

Хr+1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(N—r+1)! [N—(r +1)]!

 

 

что и требовалось доказать. Аналогично докaзывается справедливость (П. 1.10) и

при h > m.

Подставляя значения 0; (0),

0N-п+, (0), вычисляемые по (П. 1.10), в (П..1.9) и

учитывая формулу (П.1.1), находим

 

 

 

 

1V

—

l)

11L N-п-i+1

N-n+1

Л , (

—a, e 't

 

/

 

)

R(t) = (N

(п — 1)!

I

 

 

 

1 =1 а'1ЛN-п+l ( —а'1)

Выведенные формулы для R(t) позволяют осуществлять численный анализ

надежности распределенных вычислительных систем.

514

П.2. Экспресс-анализ функционирования вычислительных систем

П.2. Экспресс-анализ функционирования вычислительных систем

Заданные параметры вычислительной системы

N количество ЭМ, составляющих ВС;

интенсивность отказов ЭМ среднее количество отказов, происходя-

щих в одной ЭМ в течение 1 ч (?1, ч средняя наработка до отказа машины);

m число (виpтyaльныx) восстанавливающих устройств (ВУ); каждое ВУ способно ремонтировать в любой момент времени t > 0 только одну ЭМ;

интенсивность восстановления ЭМ среднее количество восстановле-

ний машин, которое может произвести одно ВУ за 1 ч (µ-`, ч среднее время вос-

становления машины одним ВУ);

R интенсивность решения задачи на одной ЭМ ВС (^3 -' , ч среднее время решения задачи на одной машине);

c, , руб./ч

стоимость часа полезного времени работы ЭМ или арендная

плата за 1 ч эксплуатации одной ЭМ;

c' и с

2

, руб./ч

соответственно себестоимость и стоимость содержания

2

 

 

 

восстанавливающего устройства в течение 1 ч;

сз , руб.

 

средняя стоимость технических средств (интегральных схем, ти-

повых элементов замены и т. п.), расходуемых при однократном восстановлении отказавшей ЭМ;

i начальное состояние ВС или число работоспособных ЭМ в момент начала функционирования системы, т. e. при t = 0; {о, 1, ... , N} множество состояний ВС.

Рассчитываемые показатели эффективности вычислительной системы

1. Математическое ожидание числа работоспособныx ЭМ в системе

1.1. Стационарный режим;

среднее количество работоспособных ЭМ в

системе при длительной ее эксплуатации. Расчет выполнить по формуле

у^= Nµ /(А, + µ),

если N^,

mµ / . в противном случае.

1.2. Переходный режим; 1(i, t)

среднее число работоспособных ЭМ в

момент времени t >_ 0 в системе, начавшей функционировать в состоянии i, 0 <_ i <_ N. Расчет осуществлять по формуле

Nµ + i^,—(N—i)µе—(Х+µ)t N—т <i <N если N? < т •

1(z, t

mµ i?,—тµ —^,t

0 < i < (N — т), если N? > тµ.

+

e

515

Приложения

Информация для эксплуатационников и пользователей ВС

1. Расчет i1(i, t) следует производить только при необходимости тонкого

анализа производительности ВС, при оценке времени вхождения в стационарный

режим. B условиях коммерческой эксплуатации режим работы ВС стационарен, поэтому достаточно ограничиться расчетом только 1.

2. Количество (виртуaльных) ВУ и их параметры должны быть подобраны так, чтобы выполнялось неравенство N? < тµ. Тогда для одного и того же проме-

жутка времени среднее количество отказов, появляющихся в ВС, не будет превы-

шать среднего количества восстановлений, которые могут выполнить все ВУ . Тем

самым будет достигнута гармоничность работы собственно ВС и совокупности ВУ как единого целого.

З. При определении среднего количества машин, которые могут быть использованы для решения задач, достаточно ограничиться расчетом по формуле

Следовательно, параллельные программы должны разрабатываться c учетом того, что число ветвей в них не должно превышать 11.

4. Для оценки средней производительности ВС достаточно воспользоваться формулой

 

SZ=солтр/(Х+µ),

где

показатель производительности одной ЭМ (например, номинальное быст-

родействие машины, выраженное в операциях в секунду).

 

2. Функция осуществимости решения задачи на живучей ВС

 

2.1. Стационарный режим; 7(t)

вероятность того, что на ВС, наход:ащей-

ся в длительной эксплуатации, будет решена за время t > О задача, представленная адаптирующейся параллельной программой, т. e. программой, использующей в лю-

бой момент времени все работоспособные ЭМ. Расчет производить по формуле

.7(t) =1— ехр —IЗNµt /(?', + µ), если N?

—f 3 mµt / Х в противном случае.

2.2.Переходный режим; 1(i, t) вероятность того, что на ВС, начавшей

функционировать в состоянии i, о < i < N, будет за время t > О решена задача,

представленная в виде адаптирующейся параллельной программы. Расчет выполнять по формуле

 

{л41

+ й. — (N — i)а

[ 1

е'

 

 

^+µ

(2 ,+ µ)2

 

 

] ,

7(i, t)= 1— ехр

 

(N — m) < i < N,

если

N^, mµ;

Гтµ t+ i^, _ Т1 (1 — е-

) ,

 

 

 

 

0 < i <(N —m),

если

N^, > тµ.

516

П.2. Экспресс-анализ функционирования вычислительных систем

Информация для проектировщиков и пользователей ВС

1. Расчет функции 5(i, t) необходимо выполнять при проектировании ВС

специального назначения, например систем управления подвижными объектами. При коммерческой эксплуатации ВС общего назначения такой расчет нужен в редких случаях.

2. Режим работы ВС общего назначения, как правило, стационарен. Кроме

того, должны обеспечиваться условия, при которых выполняется неравенство Ю» < mµ. Следовательно, пользователям ВС для оценки осуществимости решения

их задач достаточно воспользоваться простейшей формулой

3(t) =1— ехр [ — RNµ(х + µ) -1 t].

З.Математическое ожидание бесполезных расходов при эксплуатации ВС

3.1.Стационарный режим; у средние бесполезные расходы за 1 ч при длительной эксплуатации ВС:

N^,

если N^, < тµ;

(с1 - с2 ) + тс2 ,

У =

 

( Ю» — mµ)К 1с1

в противном случае.

3.2. Переходный режим; Г(i, t) средние бесполезные эксплуатационные

расходы к моменту времени t > 0 при условии, что в начальный момент система находилась в состоянии i, 0 < i < N. Расчет выполнять по формуле

Г(i,

t) = -Е; + yt + Е;S(t),

где

 

 

 

 

е, =

—

(N —2 (с1

_ с 2 ),

 

 

(? + t)

 

у =

Ю» (c, — с2 ) + тс2 ;

b(t) = е

^+ µ

(N — т)

i < N

 

',

при выполнении условия N?» < mµ, или

 

 

i — тµ

с1;

•y=

с1 ;

 

 

^

(t)=е", 0 <i<N — m

при невыполнении условия N?» < тµ.

Информация для эксплуатационников ВС

Оценку издержек, связанных c эксплуатацией ВС, проводят в коммерческих целях. При этом обеспечивается стационарный режим работы ВС и создаются усло-

517

Приложения

вия, при которых выполняется неравенство N?' < т µ. Эксплуатационнику, анализи- рующему такой технико-экономический показатель, как средние бесполезные издержки, достаточно применять лишь простейшую формулу

у= Ю» (с1 + с2 ) +тс2 .

4.Математическое ожидание дохода ВС

4.1.Стационарный режим; g прибыль вычислительной системы или сред-

ний доход, приносимый за 1 ч при длительной эксплуатации ВС:

Ni (c, — ?с3 ) — тс , если Ю» < mµ;

g = т

.

если NA, > тµ.

т(с1 — A.c3) — Tc2i

 

4.2. Переходный режим; D(i, t) средний доход, который приносит ВС за время t > 0, если она начинает функционировать в состоянии i, 0 < i < N:

D(i, t) = Di + gt -

где

 

D; =

i?»—(N—i)µ

 

 

 

2

(С1 + µС3 );

 

 

(? +µ)

 

 

 

g =

Nµ (с1

—‚с3) —тс2 ;

 

8(t) = е-('+µ1` ,

(N — т) i < N

при выполнении условия Ю» < тµ, или

 

 

 

D, =

2

с1; g =

 

(с1 — ?с3 ) — тс2 ;

 

8(t)

= е-

л` , 0

< i

< (N — т)

 

 

 

 

при невыполнении условия

Ю»

 

 

 

 

 

Информация для эксплуатационников ВС

даже при самом широком толковании понятия «доход ВС» значения этого

показателя представляют интерес в основном при коммерческой эксплуатации. При этом характерным является стационарный режим эксплуатации ВС. Работа ВС

должна быть организована так, чтобы обеспечивалось выполнение неравенства

Na, < mµ. B этих условиях следует использовать формулу g= Nµ (с1 — ?,сз ) — тс2 ,

которая позволяет рассчитывать прибыль, приносимую при работе ВС.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Нейман Дж. фон. Теория самовоспроизводящихся автоматов: Пер. c англ./ Под ред. B.И. Варшавского. M.: Мир, 1971.

2.Лебедев C.A., Дашевский Л.H., Шкабара E.A. Малая электроиная счетная машина. M.: АН СССР, 1952.

3.Лебедев Сергей Алексеевич. K 100-лeтaю со дня рождения основоположника отечественной электронной вычислительной техники. M.: Физматлит, 2002.

4.Малиновский Б.H. История вычислительной техники в лицах. Киев: Фирма оКИТ», ПТОО «А.С.К.», 1995.

5.Евреинов Э.B., Хорошевский В.Г. Однородные вычислительные системы. Новосибирск: Наука, 1978.

6.Хорошевский В.Г. Инженерный анализ функционирования вычислительных машин и систем. М.: Радио и связь, 1987.

7.Смирнов А.Д. Архитектура вычислительных систем. M.: Наука, 1990.

8.Ховард P.A. динамическое программирование и марковские процессы: Пер. c англ. M.: Сов. радио, 1964.

9.Диткин B.A., Прудников A.П. Справочник по операционному исчислению. M.: Высшая школа, 1965.

10.Ортега Дж. Введение в параллельные и вeктoрные мeтоды решения линейных систем.

M.: Мир, 1991.

11.Воеводин B.B., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. C.-Петербург: БХВ-

Пeтepбypг, 2002.

12.Корнеев B.Д. Параллельное програлцкирование в MPI. Новосибирск: CO РАН, 2000.

13.Головкин Б.А. Параллельные вычислительные системы. M.: Наука, 1980.

14.Евреинов Э.B., Косарев Ю.Г. O возможности построения вычислительных систем высокой производительности. Новосибирск: Изд-во CO АН СССР, 1962.

15.Каляев A.B. Многопроцессорные системы c программируемой архитектурой. M.: Радио и связь, 1984.

16.Каляев A.B., Левин И.И. Модульно-наращиваемые многопроцессорные системы со

структурно-процедурной организацией вычислений. M.: Янус-К, 2003.

17.Евреинов Э.B., Косарев Ю.Г. Однородные универсальные вычислительные системы высокой производительности. Новосибирск: Наука, 1966.

18.Корнеев B.B. Архитектура вычислительных систем c программируемой структурой. Новосибирск: Наука, 1985.

19.Краснов C.A. Транспьютеры, транспьютерные вычислительные системы и Оккам. В кв. «Вычислительные процессы и системы» / Под ред. Г.И. Марчука. Вып. 7. M.: Наука, 1990.

20.Транспьютеры. Архитектура и программное обеспечение! Под редакцией Г. Харпа. M.: Радио и связь, 1993.

21.Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. M.: ГИФМЛ,

1963.

22.Флейшман Б. C. Статистические пределы эффективности сложных систем // Прикладные задачи технической кибернетики. M.: Сов. радио, 1966.

23.Пирс "У. Построение надежных вычислительных машин: Пер. c англ. M.: Мир, 1968.

24.Гнеденко Б.B., Беляев Ю.K., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. M.: Наука, 1965.

25.Вентцель E.С. Исследование операций. M.: Сов. радио, 1972.

26.Саати T.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. M.: Сов. радио, 1971.

27.Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование: Пер. c англ. M.: Мир, 1967.

519

Учебное издание

Инфopмaтикa в техническом университете

Хорошевский Виктор Гаврилович

АРХИТЕКТУРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Редактор H.Е. Овчеренко Художник Н.Г Столярова

Компьютерная графика O.B. Левашовой

Корректор Г.С. Беляева

Компьютерная верстка C. Ч. Соколовского

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. H.Э. Баумана

Подписано в печать 09.04.08. Формат 70х 100/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». цсл. печ. л. 42,9. Уч.-изд. л. 39,87.

Тираж 1500 экз. Заказ N2 685

Издательство МГТУ им. H.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5

Отпечатано c готовых диапозитивов в ГУП ППП «Типография «Наука» 121099, Москва, Шубинский пер., 6

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности