khor32

11.3. Анализ обслуживания потока задач на вычислительных системах

ветственно количества задач, находящихся в системе, и количество ЭМ,

занятых решением, в момент времени t > 0. Вместе c тем следует заметить, что такое трансформирование сложности исходной постановки задачи не

всегда удовлетворяет требованиям практики.

Заметим, что формулы для . 4(t) и Щt) можно получить классиче-

скими методами теории массового обслуживания [21, 26] лишь для абсолютно надежных ВС. Поэтому здесь применим опробованный в § 10.4 при-

ем, приводящий к простым расчетным формулам, для двух случаев.

Случай 1. Поток задач имеет слабую интенсивность и такую, что для любого t >_ О выполняется условие

т. e. всегда в системе есть работоспособные и свободные машины для решения пocтyпaющиx задач. Из (11.7) видно, что i3(t) _

Математическое ожидание количества задач, находящихся в системе в момент времени t + At, равно этому количеству в момент t плюс среднее число задач, поступивших в BC за время At, минус среднее число задач, покинувших BC за время At вследствие их решения, т. e.

Очевидные преобразования (11.8) приводят к следующему дифференциальному уравнению:

Неравенство (11.7) устанавливает область допустимых значений для

4(t) при t=0:

Применяя преобразование Лaплaca—Kapcoнa [9], вместо (11.9) получаем алгебраическое уравнение вида

P [--B(P) – А(0)] = a – P jcp),

где p — комплексный параметр; .Л(р) – изображение функции ..A(t). Из

последнего c учетом (11.10) следует

Г4(р) = (р + а)/(р + З).

Используя известную формулу обращения преобразования Лaплaca-

Kapcoнa

483

11. Осуществимость решения задач на вычислительных системах

.1P+a ^ a + .1R — a e-pr

P+R R R

находим решение уравнения (11.9) при начальных условиях (11.10):

(11.11)

Пoдcтaнoвкa t = 0 в (11.11) и самой функции ..,A(t) в (11.9) убеждает в том,

что (11.11) удовлетворяет начальному условию (11.10) и ypaвнeнию (11.9).

B стационарном режиме среднее количество задач, находящихся в BC,

Следовательно, поток поступающих на BC задач считается cлaбoинтeнcив-

ным, если выполняются неравенства:

Таким образом, (11.13), (11.14) указывают на условия, при которых справедлива формула (11.11) для расчета математического ожидания кoличecтвa задач, находящихся в BC в момент времени t 0. B частности, если среднее количество отказов, появляющихся в единицу времени в BC

(т. e. N?,), не превышает производительности восстанавливающей системы

(т. e. mt) и если среднее количество задач, поступающих в единицу вpeмeни (a), не более потенциальной производительности BC (жз), то расчет среднего количества задач в системе можно производить по простым формулам (11.11) и (11.12).

484

11.3. Анализ обслуживания потока задач на вычислительных системах

Случай 2. Поток поступающих на ВС задач сильноинтенсивный и таков, что имеет место неравенство

4(t) > 1(i, t) .

Следовательно, ВС эксплуатируется в условиях, когда имеется очередь задач, ожидающих обслуживания. Тогда /?(t) =11(i, t) и справедлива такая последовательность выкладок:

.,A(t + At) = .'A(t) + aAt + 11(i, t)?'At — Y1(i, t)ROt;

После применения преобразования Лaплaca—Kapcoнa к (11.15) находим, что

р [.(р) - .'4(0)] = a + (?.. - )1(i, р),

следовательно,

-. а ?‚ — fЗ — .

P P

Для изображения fl(i, p), как было установлено в § 10.4, справедлива

485

11. Осуществимость решения задач на вычислительных системax

далее, если подставить значение 1(i, p) при N?, > m(? , + µ) в форму-

лу (11.16), то можно найти, что

Тривиален путь превращения этого изображения 9(p) в оригинал

4(t).

Общая формула для математического ожидания количества задач, находящихся в BC в момент времени t > 0 при невыполнении неравенства

(11.7), имеет вид

Заметим, что выражения (11.17)—(11.19) характеризуют процесс oб- cлyживaния cильнoинтeнcивнoro потока задач BC независимо от режима

(переходного или стационарного) ее работы. Однако в стационарном peжимe функционирования BC третьим и первым слагаемыми в (11.17) можно

пренебречь. B самом деле, при t -+ oo функция e-zf -+ 0, a первое слагаемое становится пpeнeбpeжимo малым по сравнению co вторым. Таким образом,

математическое ожидание количества задач, находящихся в системе в мoмeнт t 0, для стационарного режима работы BC не зависит от начального

числа задач и начального состояния BC и имеет вид

x

Очевидно, что величина a является средним числом задач, на которое увеличивается в единицу времени их общее число в системе или очередь нерешенных задач. Условием, при котором очередь нерешенных задач будет

неограниченно расти во времени, является неравенство a' > 0 или

> уIJ(Р - ?)/х.

486

11.4. Оценка потенциальных возможностей ВС по осуществимости решения задач

Учитывая последнее неравенство, формулы (11.18), (11.19), a также, что ?, « µ, получаем более простое условие роста очереди нерешенных задач:

Из (11.21) следует, что показатель . 4(t) осуществимости решения за-

дач потока следует рассчитывать по формулам (11.17)—(11.19), если интенсивность потока задач выше суммарной интенсивности их решения всеми

машинами ВС при условиях неабсолютной надежности ЭМ и работы восстанавливающеи системы.

Заметим, что во втором случае производительность и надежность ВС и производительность восстанавливающей системы недостаточны для того, чтобы все поступающие задачи решались без простаивания в очереди. Если анализ убеждает в справедливости (11.21), то, для того чтобы избежать об-

рaзования очереди задач на обслуживание, необходимо ввести в эксплуата - мощную и надежную ВС (или, в частности, увеличить произвоциюболее

дительность восстанавливающей системы).

Таким образом, случай 1 практически наиболее важен.

11.4. Оценка потенциальных возможностей вычислительных систем по осуществимости решения задач

1.для ВС, организованных как системы со структурной избыточно-

стью или как живучие ВС, существуют, как показано выше, показатели осуществимости решения задач. Эти показатели устанавливают взаимосвязь между количественными характеристиками надежности или живучести ВС

и вероятностными параметрами поступающих на решение задач. Они дают

информацию o качестве работы ВС и в переходном, и в стационарном режимах. Полученные расчетные формулы практически приемлемы для целей экспресс-анализа осуществимости решения задач на ВС c произвольным количеством ЭМ.

2.Численное моделирование показало, что до 10 ч устанавливается стационарный режим решения задач на ВС. данный факт приводит к предельной простоте в экспресс-анализе процесса решения задач на неабсолютно надежных ВС.

3.Континуальный подход адекватен и эффективен при анализе осуществимости параллельного решения задач на большемасштабных распре-

деленных ВС.

12.1. Цена быстро действия вычислительных систем

со' =

где со' номинальное быстpодействие ЭМ; v цена ЭМ; h коэффициент, имеющий размерность а > 2.

B современных большемасштабных ВС элементарная машина представляет собой микропроцессорную БИС (например, тpанспьютер, см. § 7.6, 8.3 и 8.6). Относительная цена локального коммутатора по сравнению c остальной частью такой машины достаточно мала. Следовательно, если закон Гроша выполняется для микропроцессорной ЭВМ, то он будет справедлив и для элементарной машины ВС; значит, его можно

использовать при анализе технико-экономической эффективности проек-

тируемых ЭМ.

C другой стороны, закон Гроша нельзя распространить на ВС как коллектив ЭМ. Если исходить из обратного и учитывать, что цена системы из N ЭМ равна V = Nv, то при расчете показателя производительности S2 ВС

получим значение, прямо пропорциональное (Nv)а, где a > 2. Такая зави-

симость находится в резком противоречии c закономерностью (9.1), установленной и теоретически, и практически [5, 6] :

SZ = АN Nгв,

где со—показатель производительности одной ЭМ; АN > 1.

Итак, для вычислительных систем справедлив следующий закон:

выражающий взаимосвязь между показателем производительности п рассматриваемой ВС и ее ценой V; ц, коэффициент, имеющий размерность.

При технико-экономической характеристике ВС (как и ЭВМ) широко используется и цена одной операции в секунду

(12.1)

B § 2.5 приведены числовые значения цены одной операции в секунду для ЭВМ:

а = v/o.

Характерно, что для ЭВМ первого поколения этот показатель составлял значительную величину 10 долл./опер./с. C появлением ЭВМ второго и третьего поколений значения цены одной операции в секунду уменьшались на порядок.

Y первых конвейерных и матричных ВС значения показателя Е были того же порядка (табл. 12.1), что и значения в для ЭВМ третьего поколения.

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

Однако ВС позволили достичь производительности на порядок выше, чем в ЭВМ третьего поколения.

Архитектура и конвейерных ВС (см. гл. 4), и матричных ВС (см. гл. 5) характеризуется тем, что вычислительные процессы в них организуются единым устройством управления (точнее, хост-компьютером или сосредоточенным аппаратурно-программным комплексом). Дальнейшее уменьшение цены одной операции в секунду (12.1) достигается в модифицированных мультипроцессорных системах (см. гл. 6) и в системах c программируемой структурой (см. гл. 7). Названные системы обладают не только «распределенным» процессором и памятью (как это имеет место в матричных ВС), но и распределенным управлением, именно поэтому для них часто используют и обобщающее понятие <.распределенные ВС». Этот термин получил распространение за рубежом, по-видимому, в 80-x годах прошлого века. B отечественной литературе он использовался применительно к подклассу ВС c программи-

руемой структурой (см. § 7.1). Ниже этот термин будет употребляться, когда

речь пойдет o ВС c программируемой структурой, в которой ресурсы (ЭМ) рассредоточены в пространстве (так же, как в сетях).

Таким образом, дальнейшее уменьшение цены операции в средствах вычислительной техники может быть достигнуто в основном в результате применения не-фон-неймановских архитектурных решений.

12.2.Математическое ожидание бесполезных расходов при эксплуатации вычислительных систем

Пусть имеются вычислительная и восстанавливающая системы, состоящие соответственно из N элементарных машин и m устройств,

N m 0; ?, и µ — интенсивности соответственно отказов ЭМ (2.14) и

восстановления отказавших ЭМ одним восстанавливающим устройством

1и с2 — стоимости соответственно эксплуатации одной ЭМ(ВУ)(2.18);c

исодержания одного BY (2.28) в единицу времени. Требуется оценить(2.27) средние эксплуатационные расходы при работе BC в переходном и cтaциo-

нapнoм режимах.

490

12.2. Математическое ожидание бесполезных расходов при эксплуатации

Ясно, что количество отказавших ЭМ и количество ВУ, занятых ремонтом машин, являются случайными числами. Отказавшие машины не могyт быть использованы для коммерческих целей, следовательно, вычислительный центр, эксплуатирующий ВС, будет нести потери. Если количество отказавших ЭМ менее общего количества m восстанавливающих устройств,

то будут иметь место и потери из-за простоя свободных ВУ. Однако если имеются ВУ, не занятые восстановлением, то отказ очередной ЭМ

прекращает простой одного из свободных устройств.

Эксплуатационные расходы (потери), вызванные простоями мацц н ВС из-за отказов и простоями ВУ из-за недостатка отказавiпих ЭМ, будем называть бесполезными. Для оценки этих расходов используют функцию

являющуюся математическим ожиданием бесполезных эксплуатационных расходов к моменту времени t > 0 при условии, что система находилась в состоянии i Е Е( ' = {О, 1, 2, ... , N} при t = 0 (т. e. в системе было i работоспособньпх ЭМ в момент начала функционирования ВС).

12.2.1. Расчет эксплуатационных расходов для переходного режима функционирования вычислительных систем

Рассмотрим начальный период работы ВС. Очевидно, что расчет функции бесполезных расходов Г(i, t), i Е Е, включает вывод дифференциaльного уравнения, a последнее, в свою очередь, связано c оценкой ожидаемых расходов при эксплуатации ВС в течение вре-

мени (t + At); At малый промежуток времени. Эти расходы складывают-

ся из затрат за время t и издержек, которые происходят на промежутке времени [t, t + At).

нятых ВУ в момент t > 0 при условии, что при t = О были работоспособ-

ными i Е Е' ЭМ, т. e. fl (i, 0) = i. Тогда [N — fl(i, t)] и [т — п9(i, t)] будут математическими ожиданиями количества отказавших ЭМ и количества свободных ВУ в момент t > 0 при 1(i, 0) = i, i Е Е'' Расходы из-за про-

стоя машин (вследствие их отказа) и из-за простоя ВУ (вследствие отсутствия достаточного количества отказавших ЭМ) на промежутке времени [t, t + At), очевидно, оцениваются величинами

Тогда, учитывая оценки (12.2), можно записать

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

Г(i, t + At) = Г(i, 1) + [N - y/(i, t)]c 14t + [m - 19(i, t]c2Аt + o(At). (12.3)

Если в формуле (12.3) член Г(i, t) перенести в левую часть, затем по-

При этом в качестве начальных условий естественно взять Г(i, 0) = 0, i

Для нахождения решения уравнения (12.4) необходимо знать вид

функций 1(i, t) и nl(i, t). Классический подход к расчету (на основе мeтoдoв теории массового обслуживания) здесь неприемлем. B этом легко убедиться, если подставить в (12.4) функции 1(i, t) и п9(i, t), выраженные через вероятности состояний системы (10.20), (10.21). Поэтому при расчете

Г(i, t), i E Е1 , воспользуемся методикой, изложенной в paзд. 2.9.3 и § 10.4.

Случай 1. Пусть восстанавливающая система имеет высокую производительность, т. e. выполняется неравенство

(t) = ехр[-(?. + t)tj;

Очевидно, что решение (12.6) удовлетворяет начальному условию:

Г(i3 O)=0, iEEo

Следует заметить, что результаты (12.6) — (12.8), полученные для BC c произвольным количеством N ЭМ, уже известны для предельного вapиaнтa системы — одной ЭМ, т. e. для N =1. B самом деле, если в (12.7) и (12.8)

492