объема спроса на товар под влиянием изменения цены этого товара делится на 2 составляющие:

1.Эффект замены − изменение объема спроса, вызванное исключительно изменением относительно цены товара при неизменном реальном доходе, т.е. при сохранении уровня полезности потребляемого набора благ.

2.Эффект дохода − изменение объема спроса, вызвано исключительно изменением реального дохода при неизменности относительных цен товаров.

Функция спроса для конкретной функции потребительского предпочтения называется функцией Р. Стоуна и была выведена следующим образом:

u(x)= ∏n (xi −ai )αi → max ,

i=1

где аi – минимально необходимое количество i – ого блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора. Для того чтобы набор {аi} мог

быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход I был больше ∑ piai − i

количества денег, необходимых для покупки этого набора. Коэффициенты степени αi > 0 характеризуют относительную «ценность благ» для потребителя.

Добавив к целевой функции бюджетные ограничения ∑ piai ≤ I, xi ≥ 0 , по-

i

лучим задачу, называемую моделью Р. Стоуна. Функция Р. Стоуна имеет следующий вид:

j

Сначала приобретается минимально необходимое количество блага аi. Затем рассчитывается сумма денег, остающаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности αi . Разделив количество денег на цену pi, получаем дополнительно приобретаемое сверх минимума количество I-го блага и добавляем его к аi.

Тема 9. Производственные функции

Связь между количеством продукта и количествами затраченных факторов может быть представлена математически с помощью непрерывной дифференцируемой функции, имеющей первые и вторые производные.

Производственная функция − это математически выраженная зависимость между максимальным количеством полученного продукта y и набором затраченных факторов производства x1, х2,…, хn за период времени для заданного множества технологий.

Производственная функция многих переменных: y = f (x1, х2,…, хn).

При анализе производства с помощью набора затрат факторов в форме ка- питал-труд производственная функция системы связывает количество полученного продукта y с затратами факторов труда L и капитала К за период времени y = f (L, К).

84

С точки зрения управленческого учета, затраты труда представляют переменные издержки, а затраты капитала – постоянные издержки производства. Поэтому в краткосрочном периоде система производства может изменять только количество затрат труда, но не может изменить затраты капиталовложений. В долгосрочном периоде возможно изменение количества двух факторов производства – как труда, так и капитала.

Производственная функция ƒ (x1 ,x2) как формальная конструкция определена в первой четверти двумерной плоскости (т.е. определена при x1 ≥ 0, x2 ≥ 0). ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ − своему) свойств:

1.ƒ(0,0) = 0;

f(0, x2) = ƒ(x1 ,0) = 0.

2.x(1) ≥ x(0) (x(1) ≠ x(0)) ƒ(x(1)) > ƒ(x(0)) (x(k) = (x1(k), x2(k), k = 0,1));

x > 0 ∂f∂(x) > 0 (i = 1,2), x = (x1,x2). xi

3. x > 0 ∂f 2 (2x) ≤ 0 (i = 1,2), x = (x1,x2)

∂xi

x > 0 ∂∂f 2∂(x) ≥ 0 0 x = (x1,x2); x1 x2

4. ƒ(tx1 ,tx2) = t pƒ(x1 ,x2).

Свойство 1 означает, что без ресурсов или при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.

Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем вы-

пуска растет. Первая частная производная ПФ ∂f (x) положительна и означает,

∂xi

что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет. Упорядоченная пара (x1, x2) чисел x1 и x2 для краткости здесь и далее обозначается символом x, т.е. x = (x1, x2).

начает, что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности). Смешанная производная неотрицательна и означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.

Свойство 4 показывает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени p > 0. При p > 1 с ростом масштаба производства в t раз (число t > 1), т.е. с переходом от вектора x к вектору tx, объем выпуска возрастает в tp ( > t) раз, т.е. имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства.

При p < 1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба

85

производства. При p = 1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или независимость удельного выпуска от масштаба производства).

Для ПФКД y = a0x1a1x2a2 (a1 + a2 = 1) свойства 1-4 выполняются.

Для ЛПФ y = a0 + a1x1 + a2x2 (a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0) свойства 1 и 1' (при а0 = 0)

и свойство 4 не выполняются.

Пример. На рис. 2.2.4 (а) даны эскизы изоквант lq1 и lq2 ПФКД. Отметим, что изокванта lq2, расположенная «северо-восточнее» изокванты lq1, соответствует большему объему выпуска (т.е. q2 > q1). Если объем используемого основного капитала неограниченно растет (т.е. x1 = K→ +∞), то, как видно на рис. 2.2.4 (а), затраты труда неограниченно убывают (т.е. x2 = L→ +0). Аналогично, как видно на рис. 2.2.4 (а), если x2 = L→ +∞, то x1 = K→ +0. На рис. 2.2.4 (б) даны эскизы изоквант lq1 и lq2 (q2 > q1) ЛПФ.

Х2 Х2

l g 2

Рис. 2.2.4. Примеры производственных функций

Тема 10. Статистическая модель межотраслевого баланса

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса. Математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

86

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x i − общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1, 2,…, n);

x ij − объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью в процессе

производства (I, j = 1, 2,…, n);

y i − объем конечного продукта I-й отрасли для непроизводственного по-

требления.

Так как валовой объем продукции любой I-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то:

j =1

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать

стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1),

имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

показывающие затраты продукции I-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij

будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной..

Теперь соотношения баланса (1) примут вид:

87

где X − вектор валового выпуска; Y − вектор конечного продукта;

A − матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица). Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрицы прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (5) в виде:

Матрица S = (E − A)-1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (s ij ), зада-

дим единичные векторы конечного продукта Y1 = (1, 0,…, 0)’, Y2 = (0, 1,…, 0)’, Yn = (0, 0,…, 1)’. Тогда по (7) соответствующие векторы валового выпуска будут:

X1 = (s11, s21, …, sn1)’, X2 = (s12, s22, …, sn2)’,…,

Xn = (s1n, s2n, … snn).

Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимая для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли yj =1 (j = 1, 2,…, n).

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xj должны быть неотрицательнымипринеотрицательных значенияхyi ≥ 0 иaij ≥ 0, гдеi, j = 1, 2,…, n.

Матрица A≥0 называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥0 существует решение X ≥0 уравнения (6). В этом случае модель Леонтьева называ-

ется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единиц, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица A продуктивна, если aij ≥0 для

Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, у.д.е.:

88

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение:

х1 = 100, x2 = 150, x11 = 7, x12 = 21, x21 = 12, x22 = 15; y1 = 72, y2 = 123

По формуле (2) находим коэффициенты прямых затрат:

a11 = 0,07, a12 = 0,14, a21 = 0,12, a22 = 0,10,т.е. матрица прямых затрат:

продуктивности:

max {0,07 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max{0,19; 0,24) = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле (7):

X = (E − A)-1Y

Найдем матрицу полных затрат S = (Е – А)-1:

Т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 у.е., а в машиностроительной − до 160,5 у.е.

89