2.9.2. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям производится по формуле ∫u dv = uv − ∫v du .

С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫u dv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du . Применение этой формулы целесообразно в тех

случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

∫P(x)eax dx, ∫P(x) sin ax dx, ∫P(x) cos ax dx , где Р(х) – многочлен, вычисляются, когда за и принимают Р(х), а за dv – соответственно выражение eax dx, sin ax dx, cos ax dx .

Для интегралов вида ∫P(x) ln x dx, ∫P(x) arcsin x dx, ∫P(x) arccos x dx за u принимаетсясоответственнофункция ln x, arcsin x, arccos x , азаdv – выражениеP(x)dx.

9.40. Найти ∫x2 sin x dx .

∆ Положим u = x2 , sin x dx = dv ; тогда du = 2x dx , v = −cos x . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

∫x 2 sin x dx = -x2 cos x − ∫(− cos x)2x dx = −x 2 cos x + 2∫x cos x dx .

Второй интеграл мы уже вычисляли (пример 1.39), следовательно

52

Интегралы ∫eax sin bx dx и ∫eax cos bx dx приходится дважды интегрировать по

частям. Повторное интегрирование по частям приводит к первоначальному интегралу, и получается равенство, из которого находят выражение для неполного интеграла.

Снова применим интегрирование по частям:

53

2.9.3. Интегрирование простейших рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида Pn(x)/Qm(x), где Pn(x) – многочлен степени n, а Qm(x) – многочлен степени m. Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (n < m). Дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя

дробь. Неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Перед интегрированием рациональной дроби Pn(x)/Qm(x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1. Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, то есть представить в виде

где R(x) – остаток (многочлен степени меньше m).

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

C1, C2, …Cr, применяя метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

•правую часть разложения правильной дроби приводят к общему знаменателю (он равен знаменателю левой части);

•затем отбрасывают знаменатели обеих частей равенства;

•приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и получают систему уравнений первой степени относительно коэффициентов;

•решая полученную систему, определяют эти коэффициенты.

54

Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей. При этом могут представиться следующие случаи:

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни. 9.56. Найти интеграл ∫ x(xx+−23)dx .

∆ Данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

А + В = 1,

– 3А = 2

из которой найдем А = – 2/3, В = 5/3.

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид:

Неизвестные коэффициенты А, В можно было определить и иначе. Надо в уравнении ( ) придать x столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае – два частных значения.

Особенно удобно придавать х значения, обращающие в ноль знаменатель. Применим этот прием к уравнению ( ). Знаменатель обращается в ноль при х = 0 и х = 3. Положим в ( ) х = 0, тогда 2 = – 3А, то есть А = – 2/3. Полагая х = 3, получаем 5 = 3В, то есть В = 5/3.

В результате получились те же значения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом:

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

55

Освободимся от знаменателя:

x2 +1 = A(x + 3)+ B(x −1)(x + 3)+ C(x −1)2 (x + 3)+ D(x −1)3 .

Знаменатель равен нулю при x =1 и x = −3 . Полагая x =1, получаем 2 = 4A , то есть A =12 . При x = −3 имеем 10 = −64D , то есть D = −5 / 32 .

Сравним теперь коэффициенты при старшей степени х, то есть при х3. В левой части нет члена с х3, то есть коэффициент при х3 равен нулю. В правой части коэффициент при х3 равен C+D. Итак C + D = 0 , откуда C = 5 / 32 .

Осталось найти коэффициент В. Для этого положим x = 0 , получим:

1 = 3A − 3B + 3C − D или 1 = 23 − 3B + 1532 + 325 , то есть B = 83

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид:

Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

∆ Выделим полный квадрат у знаменателя. Имеем:

56

9.60. Найти ∫ 2 4x + 5 dx .

x + 2x + 3

∆ Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2