Примеры для самостоятельного решения

Найти следующие пределы:

2.7. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной

Понятие производной функции

Производной функцией f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при ∆x → 0 (если этот

пользуют индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например y′x (производная взята по переменной x). Нахождение производной

функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Имеется теорема, устанавливающая зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке: Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема неверна: функция может быть непрерывной в точке x0 и, тем не менее, в этой точке не иметь производной. Так, например, функция

∆x

∆ x < 0 , т.е. не имеет предела при ∆ x → 0 .

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется

дифференцируемой на этом промежутке.

32

Чтобы вычислить производную функции y=f(x) в некоторой точке x0 , исходя из определения, необходимо:

1)значению аргумента x в точке x0 дать некоторое приращение ∆x и найти соответствующие приращение функции ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) ;

2)составить отношение приращения функции к приращению аргумента ∆∆yx ;

3)вычислить предел отношения при ∆x → 0 , если он существует.

Примеры

Геометрически производная функции f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке М(x0;f(x0)).

у

Физический смысл производной

Пусть функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой, т. е. y = f (x) – путь, пройденный точкой от начала движения за время t. За промежуток времени ∆t = t −t0 точка М пройдет отрезок пути ∆y = f (t0 +∆t) − f (t0 ) .

Отношение ∆∆yt называется средней скоростью движения (Vcр.) за время ∆t ,

предел отношения ∆∆yt при ∆t → 0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени t0 (Vмгн.).

33

Правила дифференцирования

1)Производная постоянной равна нулю, т.е. c′ = 0 .

Вдальнейшем будем полагать, что u(x) = u , v = v(x) – функции, имеющие

производные. Тогда справедливы следующие формулы:

2)(u ± v)′ = u′± v′;

3)(u ×v)′ = u′v − v′u ;

4)(cu)′ = cu′;

5)u = u′v −2 uv′ ;v v

yx/

дифференцирования обратной функции).

Производные основных элементарных функций

Примеры применения формул и правил дифференцирования для нахождения производных различных функций

1. Найти производную функции.

f (x) = x3 + 7x + sin x −tgx + log3 x −3ln x + arctgx

34

∆ Заданная функция есть алгебраическая сумма нескольких функций. Применим правило (2) и формулы производных элементарных функций, тогда получим:

f ′(x) = (x3 )′ + (7x)′ + (sin x)′ − (tgx)′ + (log3 x)′ − (3ln x)′ + (arctgx)′ =

=3x2 +7 +cos x − cos12 x + ln 31×x − x3 +1+1x2

2.Найти производную функции f (x) = x x (3ln x − 2)

∆ Перепишем заданную функцию в виде f (x) = x 32 (3ln x − 2) . Применяя правило (3), будем иметь:

3.Найти производную функции f (x) = x2 −1 .

x2 +1

∆ Для вычисления производной заданной функции используем правило (5), тогда:

б) Данную функцию представим в виде y = u 2 , где u = tgv , a v = x2 . По правилу 6) имеем:

Разумеется, нет необходимости в таких подробных записях. Обычно результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

35

Учитывая, что y = f (x)ϕ( x) , получаем следующую формулу для производной показательно-степенной функции:

Примеры для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:

36

Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной и обозначается

dy=f΄(x)∆x

Если у = х, то по этой формуле dy=dx=x´∆x=∆x

Поэтому дифференциал функции можно записать в виде dy=f΄(x)dx

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной.

1.dc = 0

2.d(cu) = cdu

3.d(u ± v) = du ± dv

4.d (uv)= udv + vdu

5.d(u/v) = vdu −udv

v2

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим функцию y = f(u), где аргумент u = φ(x) сам является функцией от х, то есть рассмотрим сложную функцию y = f(φ(x)). Если функции y = f(u) и u = φ(x) дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна y' = f 'u(u)u'x. Тогда дифференциал функции

dy = f '(x)dx = f 'u(u)u'xdx = f '(u)du , так как u'xdx = du. Итак dy = f 'udu.

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от независимой переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (то есть неизменности формы дифференциала).

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Если приращение ∆x аргумента мало по абсолютной величине, то ∆y≈dy и f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)∆x.

Это приближенное равенство позволяет вычислить функцию в точке х+∆x по известным ее значению и значению ее производной в точке х.

Абсолютная погрешность приближенного значения:

∆=|fтабл – fприбл|,

а относительная погрешность вычисляется по формуле:

Примеры

1. Вычислить приближенно значение функции sin32°.

∆ Здесь f(x) = sin x , f '(x) = cos x , x=π/6, ∆x=π/90.

37