2.11. Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференци-

альным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется по-

рядком дифференциального уравнения.

Уравнение вида

– дифференциальное уравнение первого порядка.

Вуравнении ( ) F – заданная непрерывная функция трех своих аргументов,

вчастности, она может не зависеть от х или у, но непременно должна содер-

жать dydx . Разрешая уравнение ( ) относительно dydx , будем иметь: dydx = f (x , y ).

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y =ϕ(x), которая при подстановке в уравнение обратит его в тождество.

Общая форма дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид:

F (x, y, y ′, y ′′,..., y (n ) )= 0 .

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным от-

носительно старшей производной, если оно имеет вид y ( n ) = f (x, y, y ′,..., y ( n −1) ),

где f – некоторая функция от n+1 переменной.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение y =ϕ(x, C1 , C2 ,..., Cn ), которое является функцией переменной х

и n произвольных независимых постоянных С1, С2,…, Сn.

Частным решением называется решение, полученное из общего при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С1, С2,…, Сn.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка y′ = f (x, y) в области D называется функция y =ϕ(x, C). Всякое решение y = ϕ (x, C 0 ), по-

лучающееся из общего решения y =ϕ(x, C) при конкретном значении С = С0 ,

называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y ′ = f (x, y ), удовлетворяющее начальному условию y(x0 )= y0 , называется задачей Коши.

Общему решению y =ϕ(x, C) на плоскости ХОУ соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра, а частному решению,

64

удовлетворяющему начальному условию y(x0 )= y0 , – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку M 0 (x0 , y0 ).

области D, то решение дифференциального уравнения y′ = f (x, y) при начальном условии y(x0 )= y0 существует и единственно, то есть через точку (x0 , y0 ) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

2.11.1. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка

I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

ddxϕ = f (x)g(y) или M (x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0 .

Если ни одна из функций f(x), g(y), M(x), N(y), P(x), Q(y) не равна тождественно нулю, то эти уравнения следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Для первой формы уравнения:

Выполняя почленное интегрирование последних уравнений, получаем соотношения, которые определяют (чаще всего в неявной форме) решение исход-

11.1. Два самых простых случая: когда g( y) =1или f (x) =1. В первом случае

рируя, находим x2 + ln y 2 − 4 = ln C или y 2 − 4 = Ce−x2 . Это общее решение данного уравнения.

65

66

Замечание. Уравнение вида dydx = f (ax + by ), где a, b – постоянные, заменой z = ax + by приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции z(x). Дифференцируя z, имеем dxdz = a + b dydx . Тогда исходное

уравнение легко приводится к уравнению dxdz = a +b ×f (z), в котором перемен-

ные разделяются.

II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f (x, y) называется однородной степени k, если для произвольного

получим u + x dudx = 1 −2uu 2 . Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

67

Преобразуем второй интеграл:

x(u 2 +1)= C u

Возвращаяськпрежнейнеизвестнойфункции, получаемокончательныйответ: x 2 + y 2 = Cy .

11.16. Найти интеграл уравнения y′ = x + 2 y . x

∆ Введем новую переменную y = ux . Проводя все вычисления, аналогичные

2

y = 2x arctg x .

Решить однородные дифференциальные уравнения.

III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

однородным.

Общее решение линейного однородного уравнения y′ + P(x)y = 0 легко находится разделением переменных: dyy = −P(x)dx; ∫dyy = −∫P(x)dx; ln y = −∫P(x)dx + ln C

или, наконец, y = Ce −∫P(x)dx , где С – произвольная постоянная.

68

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти тремя методами.

а) Метод Бернулли.

Будем искать решение в виде y = u(x)v(x), где u(x) и v(x) – две неизвестные функции. Так как y′ = u′v + v′u , то исходное уравнение преобразуется к виду

u′v + v′u + P(x)uv = f (x) или u[v′ + P(x)v]+ vu′ = f (x).

Одна из неизвестных функций может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению). Поэтому найдем сначала какое-либо частное решение v = v(x) уравнения

б) Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).

Сначала интегрируем однородное уравнение и считаем, что произвольная постоянная решения есть некоторая, подлежащая определению, дифференци-

( ) −∫P(x )dx

руемая функция от х. То есть считаем, что y = C x e . Найдем производную

однородного уравнения, второй член суммы – частное решение неоднородного уравнения.

в) Метод интегрирующего множителя.

У дифференциального уравнения первого порядка всегда есть интегрирующий множитель µ = e∫P(x )dx , который приводит уравнение к полному дифференциалу.

щее решение y = (x 2 + C)x2 = Cx 2 + x4 .

69