Последнее равенство означает, что λ2=0. Вместе с ним верно и λ1= λ3 = 0. Таким образом, все три равенства выполняются только в тривиальном варианте при λ1= λ2=λ3 = 0 и, следовательно, матрицы линейно независимы. Заметим, что для уравнений во второй строчке, т.е. для вторых строчек
матриц, также находим λ1= λ2= λ3 = 0. Убедитесь в этом самостоятельно. Общее определение линейно зависимых и независимых матриц проще
всего применять к матрицам-строкам или матрицам-столбцам, а, следовательно, и к совокупности строк или столбцов заданной матрицы.
Задача 1.19. Докажите, что строчки матрицы
1 |
3 |
5 |
||
|
7 |
9 |
|
|
|
11 |
|||
|
|
15 |
17 |
|
13 |
|
|||
линейно зависимы.
Задача 1.20. Докажите, что линейно зависимы строчки каждой из матриц:
1 |
3 |
4 |
2 |
−1 3 1 |
7 1 |
1 |
− 2 4 9 |
|||||||
|
− 2 |
−1 |
3 |
|
|
2 |
−5 3 |
2 − 2 |
|
|
5 |
−12 10 13 |
|
|
1) |
−1 |
2) |
|
3) |
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
−7 7 |
11 −3 |
|
|
2 |
−5 3 2 |
|
|
|
−1 −10 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
4 7 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
3 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
−7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.21. Убедитесь, что матрицы А,В и С линейно зависимы, если:
− 2 1 |
3 |
5 |
3 |
5 |
4 |
1 |
|
−5 |
− 4 −1 4 |
||||||
|
1 |
7 |
6 |
3 |
|
|
−1 5 |
1 |
2 |
|
|
2 |
2 5 1 |
|
|
A = |
|
B = |
|
C = |
|
||||||||||
|
3 |
− 2 12 |
2 |
|
|
5 |
− 21 |
−3 −9 |
|
|
− 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
19 15 11 |
||||||||||
Вопросы для самостоятельного контроля
1. Можно ли использовать матрицы для представления произведенной за месяц продукции участка? Смены? Цеха? Завода?
2.Какие особенности будет иметь матрица, изображающая ежедневный рублевый доход фирмы в течение недели?
3.Какие особенности будет иметь матрица, изображающая ежедневный рублевый доход фирмы в течение месяца?
4.Что изменится, если матрица будет изображать доход фирмы в долларах?
5.Чем отличается сложение матриц и дробей? Почему?
6.Чем отличаются цифры десятичных чисел и числа (элементы) матрицы?
7.Может ли матрица иметь только один элемент?
8.Какая разница между размером и порядком матрицы?
9.Почему умножение строк матрицы на число приводит к новой матрицe, а аналогичное умножение дроби не изменяет соответствующего числа?
10.Как называется операция перестановки строк и столбцов местами?
11.Могут ли элементы матрицы быть дробными числами?
17