2.9. Плоскость и прямая в пространстве

2.9.1. Общее уравнение плоскости

Общим уравнением плоскости называется уравнение

где A2 + B2 +C 2 > 0 . Вектор (A;B;C) – нормаль к плоскости n . Частные случаи общего уравнения:

a)D=0 – плоскость проходит через начало координат;

b)A=0 – плоскость параллельна оси OX;

c)A=0 и B=0 – плоскость параллельна плоскости XOY. Аналогично и для других коэффициентов B и C.

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, определенной уравнением, Ax + By +Cz + D = 0 находится по формуле:

Получившаяся после подстановки координат точки M0 в уравнение плоскости величина Ax0 + By0 +Cz0 + D определяет положительное и отрица-

плоскости, проходящей через три заданные точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3) имеет вид:

6x −3y + 2z − 28 = 0 и найти полупространство, в котором находится эта точка. Подставляя координаты (3;5;−8) точки M0 в уравнение плоскости, получаем 6 × 3 – 3 × 5 + 2(-8) – 28 = -41. Следовательно, точка M0 принадлежит

отрицательному полупространству, в котором находится и начало координат. По формуле (9.1.2) находим расстояние от точки M0 до плоскости:

78

Пример 9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;3;5) и перпендикулярной вектору (4;-3;2).

По формуле (9.1.3) получаем: 4(x − 2) −3( y −3) + 2(z −5) = 4x −3y + 2z −9 = 0.

Пример 9.3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через основания перпендикуляров, опущенных из точки M (2;3;−5) на координат-

ные плоскости.

Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоско-

2x −3y −4z −12 = 0 . Как расположена точка M0 относительно этой плоскости?

основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат.

2.9.2. Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересече-

ния двух плоскостей

Уравнение прямой, которая проходит через две точки M1 (x1; y1; z1 ) и

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) :

Здесь (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) – направляющий вектор прямой.

Параметрическим уравнением прямой называется

79

Ax + By +Cz + D = 0 находится после подстановки параметрического уравнения

прямой в уравнение плоскости и отыскания значения параметра t, соответствующего искомой точке пересечения. Совокупность плоскостей

α(A1x + B1 y +C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 (9.2.5) называется пучком плоско-

стей, которые проходят через прямую (9.2.1).

Пример 9.4. Найти каноническое уравнение прямой, если она задана общим уравнением

2x − y +3z −1 = 0 5x +4y − z −7 = 0

Направляющий вектор прямой найдем как векторное произведение векторов(2;−1;3) и (5;4;−1) нормальных заданным плоскостям. Имеем:

Для того чтобы найти какую-нибудь точку прямой, возьмем x = 0 , т.е. найдем пересечение прямой с плоскостью YOZ. Имеем:

дит через точку (0;2;1) и имеет каноническое уравнение:

−x11 = y17−2 = z13−1

Пример 9.5. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую x −2 2 = y3−1 = z −1 3

Поскольку (2;3;1) – направляющий вектор прямой, плоскость 2x +3y + z = 0 перпендикулярна прямой и проходит через начало координат. Для того, чтобы найти координаты точки пересечения этих прямой и плос-

80

Задача 9.7. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей че-

рез точки A(2;−5;1) и B(−1;1;2) .

Задача 9.8. Даны точки A(−1;2;3) и B(2;−3;1) . Найти уравнение прямой, uur

проходящей через точку C(3;−1;2) и параллельной вектору AB . Задача 9.9. Найти какое-нибудь общее уравнение прямой

x −3 5 = y 2−7 = z +4 2 .

2.9.3. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Две плоскости A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 могут пересекаться, быть параллельными или совпадать в зависимости от отношений ко-

ях плоскости пересекаются. В алгебраических терминах в первом случае ранг (А) = ранг(A|B) = 1, во втором – ранг (А) = 1, ранг (A|B) = 2, а в последнем – ранг(А)=2.

Взаимное расположение плоскости и прямой

A1x + B1 y +C1z + D1 = 0A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

определяется плоскостями. Поскольку две последние пересекаются, расположение зависит от рангов матриц:

Если ранг(А)=3, то прямая пересекает плоскость и система имеет единственное решение – точку пересечения прямой и плоскости.

Если ранг(А)=2 и ранг(А|В)=3, то прямая параллельна плоскости и система несовместна – решения нет. Если ранг(А)=2 и ранг(А|В)=2 , то все три плоскости проходят через заданную прямую. Следовательно прямая лежит в плоскости.

Аналогично обстоит дело со взаимным расположением прямой и нескольких плоскостей.

Взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями

81