2.8.Прямая на плоскости
2.8.1.Общее уравнение прямой
Общим уравнением прямой называется уравнение вида
Ax + By +C = 0 |
(8.1.1) |
где A2 + B2 > 0 . Это значит, что каждая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (8.1.1), принадлежит прямой. А любая точка M (x1; y1) , для которой Ax1 + By1 + C ≠ 0 , т.е. не удовлетворяющая (8.1.1), не принадлежит прямой, заданной уравнением (8.1.1). Подразумевая этот факт, очень часто говорят о прямой (8.1.1). Поэтому ниже все время будем говорить о прямой (8.1.1), подразумевая прямую, заданную этим уравнением.
Частные случаи общего уравнения прямой:
1.C = 0 ,A×B ≠ 0 . Прямая определяется уравнением Ax + By = 0 и про-
ходит через начало координат. |
|
|
|
|||||
2. |
A = 0 , B×C ≠ 0 . Прямая, определяемая уравнением |
By +C = 0 , |
т.е. |
|||||
y = b , где b = − |
C |
, параллельна оси Ox. |
|
|
||||
|
|
|
||||||
3. |
|
B |
Прямая, |
определяемая уравнением |
|
т.е. |
||
B = 0, AC ≠ 0. |
Ax +C = 0, |
|||||||
x = − |
C |
, параллельна оси Oy. |
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Прямая, |
определяемая уравнением Ax = 0, т.е. x = 0 , |
|||
4. |
B = C = 0, A ≠ 0. |
|||||||
совпадает с осью Oy.
5.A = C = 0, B ≠ 0 . Прямая, определяемая уравнением By=0, т.е. y = 0 ,
совпадает с осью Ox.
Пример 8.1. Построить прямые: 1) x − 4y + 8 = 0 ; 2) 2x + 5y = 0 ; 3)5x − 3 = 0 ; 4) y + 3 = 0 .
1) При x = 0 в первом уравнении остается − 4y +8 = 0 , откуда 4y =8 , y = 2 . Значит прямая проходит через точку (0;2) . При y = 0 получаем x = −8 , т.е. прямая пересекает ось Ох в точке (−8;0) . Остается провести прямую через найденные точки (0;2) и (−8;0) .
2) Прямая 2x +5y = 0 проходит через начало координат. Пусть x = 5 . Тогда 2×5 +5y = 0, т.е. y + 2 = 0 и y = −2 . Это значит, что прямая проходит через точку (5;−2) . Остается провести прямую через две точки (0;0) и (5;−2) .
3)Из уравнения прямой получаем x = 53 . Эта прямая параллельна оси Оу
ипроходит через точку 3 ;0 .
5
4)Аналогично получаем y = −3 и, следовательно, прямая проходит через
точку (0;−3) параллельно оси Ох.
71
Пример 8.2. Уравнение прямой (x |
2 + 2 |
5) ×4 −(y + 2 5) ×3 = 0 |
запи- |
||||
сать в виде общего уравнения прямой. |
|
|
5 − 3y − 6 5 = 0 , |
т.е. |
|||
Раскрывая |
скобки, |
получаем |
4 |
2x + 8 |
|||
4 2x −3y + 2 |
5 = 0 . Это общее уравнение прямой с A = 4 |
2, B = −3, C = 2 |
5 . |
||||
Задача 8.1. Построить прямые 1) 4x − 5y +15 = 0 ; 2)3x − 2y = 0 ; 3)7x −10 = 0 ; |
|||||||
4)5y − 3 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
8.2. |
Найти площадь треугольника, образованного прямой |
|||||
9x + 4y − 36 = 0 с осями координат.
Задача 8.3. Какие углы образуют с положительным направлением оси Ох прямые:
1) 3x − 3y + 5 = 0 ; 2) 4x + 2y − 3 = 0 ; 3) 5x −10y − 2 = 0 .
Задача 8.4. Составить уравнение прямой, которая отсекает на координатных осях равные 1 положительные отрезки.
2.8.2. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения
Коэффициенты А и B в общем уравнении прямой (8.1.1) можно рассматривать как координаты вектора (А;В). Этот вектор всегда перпендикулярен прямой и называется нормальным вектором прямой. Длина этого векто-
ра |
A2 + B2 используется для приведения |
общего уравнения |
прямой |
|
Ax + By + C = 0 к нормальному уравнению прямой: |
|
|
||
|
± Ax + By + C = 0 |
(8.2.1) |
|
|
|
A2 + B 2 |
|
|
|
|
Здесь знак выбирают противоположный знаку С. |
|
|
|
|
Если С=0, то прямая проходит через начало координат. В общем случае |
|||
С определяет смещение прямой относительно начала координат. |
с |
– |
||
|
||||
расстояние от начала координат до прямой.
Пример 8.3. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат перпендикулярно вектору (3;2).
Перпендикулярный вектор (нормаль к прямой) определяет коэффициенты А и В, то есть A = 3, B = 2 . Так как прямая проходит через начало координат, С=0 и уравнение прямой 3x + 2y = 0 .
Пример 8.4. |
Дано общее уравнение прямой 5x −12y + 6 = 0 . Написать |
||||||
нормальное уравнение прямой. |
|
|
|||||
Имеем: A = 5, |
B = −12 . |
A2 + B 2 |
= |
52 + (−12)2 =13. Поэтому нормальное |
|||
уравнение прямой есть: − |
5 |
x + |
12 |
y − |
6 |
= 0 . |
|
|
|
13 |
|||||
|
13 |
13 |
|
|
|||
72
Задача 8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку A(−2;−3) .
Задача 8.6. Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат параллельно прямой с уравнением 5x − 2y + 4 = 0 .
Задача 8.7. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку (0;5) параллельно прямой 3x − 2y = 0 .
2.8.3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Параметрическимуравнениемпрямойназываетсясистемадвухуравнений:
x = a + lt , y = b + mt |
(8.3.1) |
Здесь (a;b) – координаты любой точки прямой, (l; m) – вектор параллельный прямой, t − свободный параметр. Вектор (l; m) называется направляющим вектором прямой. Параметр t может принимать любые значения и определяет координаты точки на прямой.
Каноническим уравнением прямой называется уравнение:
x − a |
= |
y − b |
, |
(8.3.2) |
l |
|
|||
|
m |
|
||
где параметры a, b, l, m имеют тот же смысл, как и в (8.3.1).
Понятно, что параметрические и канонические уравнения прямой позволяют определить и общее уравнение прямой.
Пример 8.5. Найти уравнение прямой, которая проходит через точки
M1 (x1 ; y1 ) и M 2 (x2 ; y2 ) . |
|
Направляющий вектор прямой (M1 , M 2 )= (x2 − x1 ; y2 − y1 ). Поэтому кано- |
|
ническое уравнение прямой есть: |
|
x − x1 = |
y − y1 |
x2 − x1 |
y2 − y1 |
После несложных преобразований получаем и общее уравнение прямой в виде:
x(y2 − y1 )− y(x2 − x1 )+ y1x2 − x1 y2 = 0
Пример 8.6. Найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (2;5), если ее общее уравнение 5x +3y − 25 = 0 .
Вектор (A, B)= (5;3) – нормальный к прямой. Значит нормальный к нему вектор (-3;5) (их скалярное произведение равно 0) является направляющим вектором прямой, то есть l = −3, m = 5 в уравнении (8.3.1). Следовательно параметрическое уравнение прямой есть x = 2 −3t , y = 5 + 5t .
Задача 8.8. Найти уравнение прямой, которая проходит через точки (3;5)
и (-2;5).
73
|
Задача |
8.9. |
Найти |
точку |
пересечения |
прямых |
||
x = 2 + 5t, y = 3 − 4t . |
|
|
|
|
||||
|
Задача |
8.10. |
Найти |
точку |
пересечения |
прямых |
||
x − 3 |
= |
y + 5 |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Задача 8.11. Найти каноническое уравнение прямой, уравнение 3x − 2y + 6 = 0 .
3x + 2y + 2 = 0 |
и |
||||
|
x + 2 |
= |
y − 3 |
|
и |
3 |
|
||||
5 |
|
|
|||
если ее общее
Указание. Каноническое уравнение прямой определяется общим уравнением прямой неоднозначно. Дело в том, что можно произвольно выбрать точку на прямой, а координаты направляющего вектора определены с точностью до общего множителя.
2.8.4. Некоторые задачи с прямыми на плоскости
Уравнения прямых, проходящих через заданную точку (x0 , y0 ) есть:
А(х – х0) + В(у – у0) = 0 |
(8.4.1) |
Уравнение (8.4.1) выражает перпендикулярность вектора (A, B) и произвольного вектора (x − x0 , y − y0 ), соединяющего точку (x0 , y0 ) с произвольной точкой (x, y) этой прямой. Поэтому уравнение прямой, проходящей через
точку (x0 , y0 ) параллельно прямой A1 x + B1 y + C1 |
= 0 есть: |
A1 (x − x0 ) + B1 ( y − y0 ) = 0 |
(8.4.2) |
Аналогично, уравнение прямой, проходящей через точку (x0 , y0 ) пер- |
|
пендикулярно прямой A2 x + B2 y + C2 = 0 есть: |
|
−B 2 (x − x0 ) + A2 ( y − y0 ) = 0 |
(8.4.3) |
Уравнение
α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0 , (8.4.4)
где α и β произвольные числа, называется уравнением пучка прямых. Все они проходят через точку пересечения прямых A1 x + B1 y + C1 = 0 и
A2 x + B2 y + C2 = 0 .
Уравнение прямой, проходящей через точки
x − x1 |
= |
y − y1 |
||||||
x |
2 |
− x |
y |
2 |
− y |
1 |
||
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
||||
M1 (x1 , y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) есть:
(8.4.5)
Расстояние d от точки |
(x1 , y1 ) до прямой |
Ax + By + C = 0 определяется |
формулой |
|
|
d =Ax1 + By1 + C |
(8.4.6) |
|
A2 |
+ B2 |
|
74
|
Всякая прямая |
Ax + By + C = 0 делит плоскость на две полуплоскости. |
||
В |
одной из них |
для всех точек верноAx + By + C > 0 , |
а для |
другой |
Ax + By + C < 0 . Первая называется положительной полуплоскостью, |
а вторая |
|||
– |
отрицательной полуплоскостью относительно прямой |
Ax + By + C = 0 . В |
||
частности, начало координат принадлежит положительной полуплоскости прямой Ax + By + C = 0 только тогда, когда С>0.
Пример 8.7. Через точку пересечения прямых 2x + 2y-5 = 0 и 4x-3y + 2 = 0 провести прямую, параллельную оси x.
Уравнение такой прямой должно иметь равный нулю коэффициент при x. Поэтому из пучка прямых A( 2x + 2y-5 ) + B( 4x-3y + 2 ) = 0 надо выделить прямую с 2A + 4B = 0 , то естьA = -2B . Эта прямая получается, например, при
A = -2, B =1 и есть − 7 y +12 = 0 .
Пример 8.8. Отрезок соединяет точки M1 (-2;3) и M 2 (5;4) . Пересекает ли этот отрезок прямую 3x-4y = 0 ?
Точка М1 лежит в отрицательной полуплоскости прямой 3x-4y = 0 , так как 3(−2) −4×3 = −18 < 0 . Для точки М2 имеем: 3×5 −4×4 =−1<0. Следовательно
отрезок лежит в отрицательной полуплоскости и не пересекает прямую. Пример 8.9. В треугольнике ABC вершины A(0;1), B(6;5) и C(12;-1). Со-
ставить уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины С.
Уравнение прямой, проходящей через A и B, есть |
x −0 |
= |
y −1 |
, т.е. |
||
6 −0 |
5 −1 |
|
||||
|
|
|
||||
4x-6y + 6 = 0 . Поэтому вектор (4;-6) – направляющий вектор высоты, и уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника, опущенная из верши-
ны C(12;-1), |
x −12 |
= |
y +1 |
, т.е. 3x + 2y − 34 = 0 . |
|
|
|||
4 |
|
− 6 |
||
Пример 8.10. Даны уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника ABС. AB: x + 3y − 7 = 0 , BC: 4x − y − 2 = 0 и AC: 6x + 8y − 35 = 0 . Найти длину высоты, проведенной из вершины B.
Определим координаты вершины B. Для этого найдем точку пересечения прямых AB и BC, так как они проходят через точку B. Из решения системы уравнений x + 3y − 7 = 0 , 4x − y − 2 = 0 получаем x =1, y = 2 . Поэтому длина высоты есть расстояние от точки (1;2) до прямой 6x + 8y − 35 = 0 и рав-
на d = − |
6 ×1 +8 × 2 − 35 |
= |
13 |
. |
|||
|
2 |
|
2 |
|
|||
|
6 |
+ 8 |
10 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Пример 8.11. Даны вершины треугольника: A(0;1), B(6;5), и C(12;1). Найти уравнения высоты и медианы, опущенных из вершины С.
Уравнение стороны AB есть x − 0 = y −1 , т.е. 4x − 6 y + 6 = 0 . Поэтому
6 − 0 5 −1
вектор (4;-6) перпендикулярен прямой AB и является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины С, и уравнение высоты есть
75