Оно называется характеристическим уравнением, а его левая часть –
характеристическим многочленом линейного преобразования А. Подстановка характеристического числа в равенство Ах = λх дает систему уравнений
для координат соответствующего собственного вектора х.
Пример 10.18. Найти характеристические числа и собственные вектора
линейного преобразования А, |
если х′ = 5x + 4y , y′ =8x + 9y =8x+9y. Матрица |
||||
преобразования А |
5 |
4 |
|
. Поэтому характеристическое уравнение |
|
есть: А= |
|
|
|
||
|
|
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
||
запишется в следующем виде:
|
5 −λ |
4 |
|
= (5 −λ)(9 −λ)−32 = 0 , т.е. λ2 −14λ +13 = 0 |
|
|
|||
|
8 |
9 −λ |
|
Его корни λ1 =1 и λ2 =13. Это собственные числа. Для координат собственных векторов получаем:
(5-1)ξ1 +4ξ2 =0, т.е. ξ1 +ξ2 =0, х=(-1;1) и (5-13)ξ1 +4ξ2 =0, т.е. -8ξ1 +4ξ2 =0, х=(1;2)
Таким образом, линейное преобразование А имеет собственный вектор (-1;1) с собственным числом 1 и собственный вектор (1;2) – с собственным числом 13.
Задача 10.18. Найти собственные числа и собственные вектора линейного преобразования с матрицей:
1) |
|
2 |
9 |
|
2) |
|
4 |
2 |
|
А= |
|
|
|
А= |
|
|
|
||
|
|
2 |
5 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Понятия собственного вектора и собственного числа легко обобщаются для линейных преобразований в n-мерном пространстве.
Вопросы для самостоятельного контроля
1)Что называется линейным пространством?
2)Что такое вектор линейного пространства?
3)Как складываются вектора линейного пространства?
4)Что такое координаты вектора?
5)Что такое подпространство вектор линейного пространства?
6)Как умножают вектора линейного пространства на число?
7)Что такое линейная комбинация векторов линейного пространства?
8)Какие вектора линейно независимы?
9)Какие вектора линейно зависимы?
10)Что такое базис векторного линейного пространства?
11)Чем отличается система линейно независимых векторов от линейно зависимых?
12)Что такое линейное преобразование?
13)Что такое матрица линейного преобразования?
14)Что такое характеристическое уравнение и характеристический многочлен?
15)Что такое собственный вектор?
16)Что такое собственное число?
94