2.10.3. Преобразование координат при переходе к новому базису

Пусть e1,e2 ,e3 ,....en и e1′,e2′,e3′,....,e′n – два базиса в n-мерном пространстве.

Будем называть их старым и новым соответственно. Пусть даны зависимости, выражающие каждый вектор базиса через вектора старого базиса:

называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису.

Пусть вектор xr имеет в старом базисе координаты ξ1 ,ξ2 ,....,ξn , т.е. x(ξ1 ,ξ2 ,...ξn ) , а в новом базисе тот же вектор x имеет координаты ξ1′,ξ2′,.....,ξn′.

Тогда xr =ξ1′ er1′ +ξ2′ er2′ +.... +ξn′ ern′=ξ1 er1 +ξ2 er2 +.... +ξn ern . Подставляя e1′, e2′,..., en′ из (10.3.1) и приравнивая коэффициенты при векторах e1 , e2 ,..., en , получаем:

Формулы (10.3.3) называются формулами преобразования координат.

Столбцы матрицы А являются координатами в формуле перехода от старого базиса к новому, а строки матрицы А – координатами в формулах преобра-

поэтому строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преоб-

87

получаем 4=3(ξ1′ +ξ2′ +ξ3′ +ξ4′). Откуда следует ξ1′ =ξ2′ =ξ3′ = 13. В общем случае

надо решить систему (10.3.3) относительно координат ξ1′, ξ′2 ,....., ξ′n вектора x в новом базисе.

2.10.4. Подпространства и решения системы однородных линейных алгебраических уравнений

Линейное пространство R′ называется подпространством линейного пространства R, если все элементы R′ являются элементами R.

Например, множество всех векторов, параллельных одной и той же плоскости в пространстве, является подпространством всех геометрических векторов пространства.

Для любых заданных векторов xr , yr , zr ,..., ur линейного пространства все их возможные линейные комбинации αx + βy + γz + .... + δu с любыми числами α, β,γ,....,δ образуют подпространство пространства R. Множество всех линейных комбинаций векторов αx + β y +γ z +.... +δu называется линейной обо-

ложенных на плоскости z=1 является подпространством R.

Поскольку для точек из R1 верно z1 = z2 =1, то их сумма: z3 = z1 z2 =1 и

произведение λP так же z=1. Остальные условия выполняются согласно свойствам R.

88

Задача 10.10. Пусть R – пространство всех геометрических векторов и R1 – множество векторов, параллельных плоскости XOY, R2 – множество векторов, параллельных плоскости XOZ. Найти R3 = R1 ∩ R2 и R4 = R1 + R2 .

Решения однородной системы уравнений

образуют подпространство n-мерного пространства. Совокупность линейно независимых решений fr1 , fr2 ,..., fn системы (10.4.1) называется фундаментальной системой решений, если любое решение системы уравнений (1) может быть представлено в виде линейной комбинации векторов fr1 , fr2 ,..., fn .

Основная теорема о фундаментальной системе решений: Если ранг матрицы

меньше n, то система (10.4.1) имеет ненулевые решения.

Число векторов, определяющих фундаментальную систему решений равно k=n-r, где r – ранг матрицы.

Пример 10.11. Найти базис и размерность подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений:

2x1 +3x2 + 4x3 +5x4 = 04x1 + 6x2 +8x3 +10x4 = 0

6x1 +9x2 +12x3 +15x4 = 0

Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен 1, т.к. все миноры, кроме миноров первого порядка, равны нулю. Число неизвестных n = 4, r = 1. Следовательно подпространство решений имеет размерность k = 4 −1 = 3 , и для получения достаточно решить только одно уравнение.

ную систему решений: f1 = (−3;2;0;0; ), f 2r = (−2;0;1;0), f3r = (−5;0;0;2).

Пример 10.12. Найти размерность и базис подпространства решений системы уравнений.

89

Используя элементарные преобразования строк матрицы коэффициентов при неизвестных, находим ранг этой матрицы:

Следовательно r=2 и размерность подпространства решения равна 2. Соответственно, фундаментальная система решений получится из решения системы первых двух уравнений.

откуда х1 = −х4 , х2 = х3.Поэтому базис (фундаментальная система решений)

есть f1 = (−1;0;0;1) и f2 = (0;1;1;0) .

Задача 10.11. Найти размерность и базис подпространства решений системы:

Задача 10.12. Найти размерность подпространства, базис и общее решение системы уравнений:

х1 + 2х2 + х3 + х4 + х5 = 0

х1 − 2х2 + х3 + х4 − х5 = 0

2.10.5. Линейные преобразования

Линейным преобразованием А пространства R называется такое правило, по которому для каждого вектора х R поставлен в соответствие новый

вектор Ax R, если для любых векторов x и y и любого числа λ верно

Пусть в n-мерном линейном пространстве R с базисом e1 ,e2 ,...,en задано линейное преобразование А. Тогда Ае1 , Ае2 ,K, Аеn – тоже векторы простран-

ства R. Поэтому их можно единственным способом разложить по векторам базиса:

Aen = a1n e1 +a2n e2 +K+ann en .

90

Матрица

называется матрицей линейного преобразования А в базисе e1 ,e2 ,...,en . Столб-

цы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов.

Для любого вектора х = х1 е1 + х2 е2 +K+ хn en из R вектор Ax можно разложить по базису e1 ,e2 ,...,en .

Координаты (x1′; x2′;K; xn′ ) вектора Ax выражаются через координаты ( x1 ; x2 ;K; xn ) вектора x в виде:

x1′ = a11 x1 + a12 x2 +K+ a1n xn ,

Эти n равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе e1 ,e2 ,...,en .Коэффициенты в формулах преобразования (10.5.5) являются эле-

ментами строк матрицы А.

Пример 10.13. Найти матрицу тождественного преобразования Е в n- мерном пространстве.

Тождественное преобразование не меняет никаких векторов, включая и базисные e1 ,e2 ,K,en .

Поэтому e1′ = e1,e′2 = e2 ,K,en′ = en и

e1′ =1 e1 +0 e2 +K+0 en e2′ = 0 e1 +1 e2 +K+0 en

KKKKKKKKKKK

en′ = 0 e1 +0 e2′ +K+1 en

Итак, единичная матрица является матрицей тождественного преобразования:

91

Пример 10.14. Линейное преобразование А четырехмерного пространства определено равенствами:

Ae1 = e3 + e4 , Ae2 = e1 + e4 , Ae3 = e4 + e2 , Ae4 = e2 + e3 .

Записать это преобразование в координатной форме. Матрица преобразования А есть:

Следовательно преобразование А в координатной форме записывается x1′ = x2 + x3 , x2′ = x3 + x4 , x3′ = x1 + x4 , x4′ = x1 + x2 .

Пример 10.15. Преобразование А определено равенством Ах =α х, где α

– действительное число. Показать, что преобразование линейно.

Имеем: А(x + y)=α(x + y)=αx +α y = Ax + Ay и A(λx)=α(λx)= λ(αx)= λAx. Сле-

довательно преобразование Ax =αx линейно.

Задача 10.13. Преобразование А в линейном пространстве определено равенством Аx = x + x0 , где x0 – фиксированный ненулевой вектор. Является ли преобразование А линейным?

Задача 10.14. Найти матрицу преобразования подобия Ax =αx в n-мерном пространстве.

Задача 10.15. Доказать, что преобразование Bx = Ax − 2x является линейным, если преобразование А линейно.

Действия над линейными преобразованиями.

Суммой линейных преобразований А и В пространстве R называется та-

кое преобразование С, для которого C x = Ax + Bx . Оно обозначается C=A+B.

Произведением линейного преобразования А на число λ называется пре-

образованием С1 , для которого С1 x = λ Аx . Оно обозначается C1 = λ А.

Произведением линейного преобразования А на линейное преобразова-

ние В называется преобразование С2 , для которого С2 x = ABx . Оно обозначается C2 = AB .

При сложении преобразований выполняется переместительный закон, т.е. А+В=В+А, а при умножении в общем случае АВ≠ ВА.

Если для линейного преобразования А найдутся такие линейные преобразования В и С, что ВА=Е и АС=Е,то В=С= А−1 – обратное преобразование для преобразования А.

Матрица линейного преобразования А−1 является обратной матрицей по отношению к матрице А линейного преобразования А.

Пример 10.16. Даны два преобразования:

92

Поэтому

x′ = x(3 −4) + x(6 −12) + z(9 −18) = −x −6y −9z 3À1 −2À2 : y′ = x(12 −12) + y(15 −14) + z(18 −18) = y

z′ = x(21−42) + y(24 −48) + z(27 −52) = −21x −24y −25z

Пример 10.17. Даны линейные преобразования:

Поэтому

Оказалось, что АВ=ВА. Следовательно в данном случае АВ и ВА совпадают, а преобразование АВ есть: x′=x+y+2z, y′=2x+y+z, z′=x+2y+z.

Задача 10.16. Преобразование А задано равенствами Ае1 = е2 , Ае2 = е1 , где е1 , е2 – базис линейного пространства. Найти матрицу обратного преобра-

зывается собственным числом линейного преобразования А, соответствующим вектору х.

ми числами служат корни λ1 и λ2 уравнения

93