Раздел 11. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.6. Координаты на прямой, плоскости и в пространстве

2.6.1. Задачи на координатной оси

Точка М с координатой x на оси OX обозначается M (x) . Расстояние d(A,B) между точками A (x1 ) и B (x2 ) координатной оси равно

при любом расположении точек A и B на оси.

Для произвольного отрезка AB на оси абсцисс (A – начало отрезка, B – конец) любая третья точка С на оси делит отрезок AB в некотором от-

ходится между A и B. Если С лежит на оси вне отрезка АВ, то выбирается знак – и λ становится отрицательным.

Пусть координата С равна x , а точек А и В, соответственно, x1 иx2 . Тогда

Пример 6.1. Построить на оси ОХ точки А(2), В(-3), С(0),Д(-3,5), Е( 2 ). Для построения точки А надо два раза отложить единичный отрезок направо от начала координат. Для точки В – утроить единичный отрезок и отложить результат влево от начала координат. Точка С – есть начало координат. Для построения точки D надо поделить единичный отрезок пополам и полученный отрезок отложить влево от точки В. Расстояние точки Е от начала координат равно длине диагонали квадрата с единичной стороной. Поэтому для построения точки Е надо построить единичный квадрат и его диа-

гональ отложить вправо от начала координат.

Пример 6.2. Отрезок АВ пятью точками разделить на шесть равных частей. Найти координаты точки, ближайшей к точке В, если А(-4), В(2).

Пример 6.3. Точка С расположена вне отрезка АВ с А(2), В(6). Расстояние от точки С до точки А в три раза больше, чем до точки В. Определить координату точки С. Нарисовать чертеж.

Имеем λ = − BCAC = −3. Поэтому x = 2 1−−33×6 = −−162 =8

59

В частности, для середины отрезка AB получаем:

любых двух столбцов определителя, что соответствует изменению направлению обхода вершин треугольника.

Пример 6.4. Построить на координатной плоскости точки A(−2;5) , B(−2;3) и определить расстояние между точками А и В.

d (BC) = (9 − (−3))2 + (−3 −1)2 = 122 + 42 = 160

Поскольку AB2 = 40 , AC 2 = 200 , BC 2 =160 , выполняется AC 2 = AB2 + BC 2 . Такое равенство справедливо только для прямоугольных треугольников (теорема Пифагора). Следовательно, АС – гипотенуза, АВ и ВС – катеты прямоугольного треугольника.

Пример 6.6. Найти координаты точки С, которая находится внутри отрезка АВ и отстоит от точки А (-4;3) в два раза дальше, чем от точки В (2;15).

61

Пример 6.8. Даны вершины треугольника A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) и C(x3 , y3 ) . Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

Известно, что точка пересечения медиан треугольника делит медиану CD в отношении 2:1, считая от точки С. Следовательно, координаты точки М пересечения медиан определяются по формулам:

Пример 6.9. Найти площадь треугольника с вершинами А (2;0), В (6;12)

и С (14;6).

По формуле (6.2.5) получаем:

Следовательно S = 60 .

Задача 6.8. Определить расстояние между точками: 1) А(7;8) и В(-5;3); 2) C( 2;− 7) и D(3 2;0) .

Задача 6.9. Показать, что треугольник с вершинами А(4;-1), В(7;2) и С(2;7) – прямоугольный.

Задача 6.10. Даны вершины треугольника: А(1;1), В(2;-4) и С(-8;0). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

Задача 6.11. Доказать, что треугольник с вершинами А(-1;-1), В(1;2) и С(2;1) – равнобедренный.

Задача 6.12. Отрезок АВ с концами А(-3;2) и В(5;6) разделен на четыре равные части. Определить координаты точек деления.

Задача 6.13. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;3), В(2;5) и

С(4;9).

Задача 6.14. Даны две вершины треугольника: А(3;8) и В(10;2) и точка пересечения медиан М(1;1). Найти координаты третьей вершины треугольника.

Задача 6.15. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(10;4), В(-2;-1), С(4;7). Определить координаты четвертой вершины.

Задача 6.16. Даны вершины треугольника: А(8;3), В(2;10) и С(-7;-10). Найти расстояния точки пересечения медиан М от вершин треугольника.

Задача 6.17. Точки D(0;0), E(6;0) и F(0;8) являются серединами сторон треугольника. Вычислить площадь треугольника.

Задача 6.18. Найти периметр треугольника АВС, если А(-2;-3), В(3;-3) и

С(-2;12).

62