2.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений в общем случае

2.5.1. Матричная запись произвольной системы

Пусть имеется произвольная система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Здесь неизвестные образуют столбец неизвестных X = (x1 , x2 ,..., xn )′, содержащий n строк. Столбец правых частей B = (b1 ,b2 ,...,bm )′ содержит m строк по числу уравнений в системе. Матрица коэффициентов при неизвестных

имеет m строк и n столбцов. Она обозначается A и называется матрицей коэффициентов при неизвестных. Поэтому, как и в рассмотренном выше случае n = m , систему (5.1) можно записать в виде одного матричного уравнения АХ=В.

Решением системы уравнений (5.1) называется любой упорядоченный набор n чисел (x1 , x2 ,..., xn )′, подстановка которого вместо столбца неизвест-

ных в левую часть каждого уравнения системы (5.1) дает значение правой части.

Система уравнений (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, когда она не имеет ни одного решения.

Покажем, что даже в простых системах с одним и двумя неизвестными возможны совместные и несовместные системы уравнений.

Пример 5.1. Рассмотрим, что будет с уравнением ax = b , если a =0? Возможны два разных случая. Первый случай b ≠0. Тогда при любом значении неизвестного левая часть равна нулю и, следовательно, уравнение не имеет решения. Иначе обстоит дело, когда одновременно выполняются равенства a =b =0. В этом случае в качестве x годится любое число, т.е. уравнение имеет бесконечно много решений.

Пример 5.2. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

3x −2y = 4

(5.3)ax −4y = 7

50

Коэффициентом при неизвестном x во втором уравнении может быть любое число. Поэтому его называют параметром. В зависимости от значения параметра a могут быть разные ситуации. Поскольку определитель матрицы коэффициентов при неизвестных равен 2 a -12, решение можно получить по правилу Крамера при a ≠6. А что будет, если a =6?

Для того, чтобы получить ответ на этот вопрос, вычтем умноженное на 2 первое уравнение из второго. Получится 0 x +0 y =1. Конечно, возникла та

же ситуация, которая была в предыдущем примере с a =0 и b ≠0. В то же время решений будет бесконечно много, если в правой части исходного второго уравнения заменить 7 на 8. При этом одно из неизвестных можно задавать произвольно.

Таким образом, рассмотренный пример показывает, что даже для системы уравнений с двумя неизвестными возможны три различных ситуации:

1)система совместна и имеет единственное решение;

2)система совместна и имеет бесконечно много решений;

3)система не совместна.

Конечно, то же самое возможно и при большем числе неизвестных. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется

определенной, если она имеет только одно решение, т.е. единственный упорядоченный набор (x1 , x2 ,..., xn )′, удовлетворяющий системе.

Совместная система линейных алгебраических уравнений называется неопределенной, если она имеет бесконечно много решений.

Поэтому необходимо научиться определять, какой из этих случаев имеет место для любой заданной системы. Прежде чем заняться этим вопросом, решите следующую задачу.

Задача 5.1. Постройте систему двух уравнений с двумя неизвестными, в которой может быть единственное решение, бесконечно много решений или ни одного решения в зависимости от изменения параметров.

2.5.2. Ранг матрицы

Понятие определителя квадратных матриц оказывается полезным для того, чтобы выяснить совместность или несовместность любой системы линейных алгебраических уравнений. Для совместной системы определители позволяют выяснить ее определенность или неопределенность и найти решение. При этом важно, что равенство определителя нулю означает линейную зависимость его строк и столбцов.

В прямоугольных матрицах можно выделить различные квадратные матрицы и найти их определители. Конечно, величина определителя может зависеть как от порядка матрицы, так и от выбора матрицы при фиксированном порядке.

Поэтому для прямоугольных матриц вводится понятие минора матрицы.

51

Минором порядка k заданной матрицы называется определитель любой квадратной матрицы k -го порядка, которая находится на пересечении произвольных k столбцов и k строчек прямоугольной матрицы.

Замечание. Теперь минор связывается с набором строк и столбцов, а не с элементом, определителя. Это значит, что оказавшееся ранее полезным понятие проектируется на более сложные ситуации. Точно так люди поступают всегда, когда появляются новые проблемы.

Пример 5.3. В матрице

выписать миноры всех возможных порядков.

В данном случае имеется шесть разных миноров первого порядка: 2, 5, 8, 1, 3, 0. При этом не требуется никаких вычислений. Для миноров второго порядка приходится вычислять определители. В данной матрице имеются миноры второго порядка

В данной квадратной матрице есть только один минор третьего порядка:

2 5 1

1 3 0 = −7

5 8 0

Задача 5.2. Выписать все отличные от нуля миноры матрицы:

Найти максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Равенство определителя матрицы нулю означает, что в определителе строчки столбцы линейно зависимы. Поэтому, выделяя среди миноров те, которые отличны от нуля, определяются линейно независимые строчки и

столбцы матрицы.

Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Пример 5.4. Определить ранг матрицы задачи 5.2.

Поскольку все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, а среди миноров второго порядка имеются отличные от нуля миноры

ранг матрицы равен 2.

Ранг матрицы А записывается ранг(А) или r(А).

52

Задача 5.3. Найти ранг матриц:

Решение этих задач показывает, что для определения ранга матрицы приходится вычислять достаточно много ее миноров. Следовательно, прежде чем находить ранг матрицы, полезно привести матрицу к такому виду, при котором ее миноры считаются наиболее просто. Так, в матрице А3 из задачи

5.3.проще считать ее миноры, содержащие четвертый столбец. Пример 5.5. Найти ранг матрицы:

В матрицах А1 и А2 сразу видно, что миноры, составленные из первого, третьего и последнего столбцов, отличны от нуля. Поэтому их ранг равен 3. В последней матрице ранг также равен 3, ибо все элементы последних двух строк равны нулю.

Матрица называется ступенчатой при условии, что для всех ее строк,

верно, что, если в i-й строке первый отличный от нуля элемент стоит на к-м месте, то во всех последующих строках матрицы все элементы на первых к местах равны нулю. Это значит, что в начале i-й строки любой ступенчатой матрицы обязательно больше нулей, чем в ее предыдущей (i-1) строке. Иногда говорят, что матрица имеет ступенчатый вид, если она является ступенчатой. Матрицы примера 5.5. имеют ступенчатый вид.

Понятно, что любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Пример 5.6. Привести матрицу

к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк и найти ее ранг.

Для того, чтобы сделать равным нулю элементы второй, третьей и четвертой строки первого столбца, вычтем из них первую строку, умноженную на 2, 5 и 3 соответственно. В результате останется матрица:

53

В полученной матрице отличен от нуля минор третьего порядка, составленный из элементов 1, 3 и 5 столбцов. Поэтому ранг исходной матрицы равен 3.

Задача 5.4. Используя элементарные преобразования строк для приведения матриц к ступенчатому виду, определить ранг матриц:

Пример 5.7. Определить зависимость ранга матрицы от параметра λ:

После перестановки местами первой и последней строк и элементарных преобразований, получаем:

При λ= -1 все элементы последней строки равны нулю и, следовательно, ранг матрицы при λ= -1 равен 2. В остальных случаях ранг равен 3.

Задача 5.5. Найти зависимость ранга матрицы от параметра λ:

В каждой матрице ранга r есть хотя бы один отличный минор порядка r. Базисным минором матрицы ранга r называется любой отличный от нуля минор порядка r этой матрицы. Строки, которые входят в базисный ми-

нор, называются базисными строками, а столбцы – базисными столбцами.

Пример 5.8. Найти ранг и базисные строки (столбцы) матрицы:

После вычитания удвоенной второй строки из третьей и удвоенной первой строки из второй получаем матрицу:

Поэтому ранг матрицы равен 2. Ее базисными строками можно выбрать две первые строки, а базисными столбцами – любые два столбца, кроме второго и последнего.

54