Задачи по Физике

71

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла) –

электродвижущая сила индукции 1 , возникающая в рамке ( число витков N, площадь – S) при ее вращении с угловой скоростью в однородном магнитном

Количество электричества Q, протекающего в контуре, – Q ,

R

где R – сопротивление контура; – изменение потокосцепления. Электродвижущая сила самоиндукции 1 , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем, –

i L dIdt , или i L It , где L – индуктивность контура.

Потокосцепление контура – LI , где L – индуктивность контура.

Индуктивность соленоида (тороида): L 0 n 2 V ,

где V – объем соленоида.

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться формулой

где - ЭДС источника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

73

где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии от экрана, параллельного обоим источникам, при условии >d. Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки,

2dn 2 sin 2 2 ,

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; φ – угол падения луча.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем)

r m R (m=1,2,3,...),

где m – номер кольца; R – радиус кривизны линзы.

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в проходящем)

Значению m=0 соответствует r=0, т.е. точка касания линзы и пластинки. Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально:

где а – ширина щели; φ – угол дифракции; m – порядок спектра; λ – длина волны.

Условия главных максимумов, главных минимумов и дополнительных минимумов дифракционной решетки, на которую свет падает нормально:

где d – период дифракционной решетки; N – число штрихов решетки.

где N0 – число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.

74

где J A – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор; J n – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; α – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора; J 0 – интенсивность естественного света.

Закон Брюстера

tgiБ n21,

где i Б – угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным; n21 – относительный показатель преломления второй

среды относительно первой. Закон Стефана-Больцмана

R T ,

где R0 – энергетическая светимость единицы поверхности абсолютно черного тела; σ – постоянная Стефана-Больцмана; Т – термодинамическая температура. Закон смещения Вина

max Tb ,

где max – длина волны, соответствующая максимальному значению

спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b – постоянная Вина.

Второй закон Вина. Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости черного тела

где h – постоянная Планка; ν – частота падающего света; с – скорость света; λ

– длина волны падающего света.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

где =h - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Тmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

75

«Красная граница» фотоэффекта для данного металла

Ah , hcA ,

где λ0 – максимальная длина волны излучения (ν0 – соответственно минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен; А – работа выхода электрона из металла.

Энергия кванта света (фотона) определяется формулой

ε=hν,

где h=6,625·10-34 Дж·с – постоянная Планка; ν – частота колебания. Количество движения фотона p hc ,

масса фотона m hc ,

где с – скорость света в вакууме.

где Е – количество энергии, падающей на единицу поверхности за единицу времени; ρ – коэффициент отражения света.

Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии определяется формулой

mch cos ,

где m – масса электрона; φ – угол рассеяния.

Согласно первому постулату Бора, движение электрона вокруг ядра возможно только по определенным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотношению

mvn rn n h ,

где m – масса электрона; vn – его скорость на n-й орбите; rn – радиус этой орбиты; h – постоянная Планка; n – любое целое число (квантовое число).

По второму постулату Бора частота излучения, соответствующая переходу электрона с одной орбиты на другую, определяется формулой

h Wn Wm ,

где n и m – номера орбит (n>m), Wn и Wm – соответствующие им значения энергии электрона.

Формула, позволяющая найти частоты ν или длины волн λ, соответствующие линиям водородного спектра, имеет вид

где с – скорость света в вакууме; R – постоянная Ридберга, равная 1,097·107 м-1; m и n – номера орбит.

Количество атомов радиоактивного вещества, распадающихся за время dt, пропорционально количеству наличных атомов и определяется соотношением

76

dNdt N ,

где λ – постоянная радиоактивного распада. Интегрируя, получим

N N e t ,

где N – число их по истечении времени t; N1 – число атомов, имевшихся в момент времени t=0.

Период полураспада Т и постоянная распада λ связаны соотношением

T ln .

Величина, обратная постоянной распада 1 , называется средним временем

жизни радиоактивного атома.

Энергия связи ядра любого изотопа определяется соотношением

W c M ,

где М – разность между массой частиц, составляющих ядро, и массой самого ядра. Очевидно,

M ZMп М Z Мн М я ,

где М – массовое число; Z – порядковый номер изотопа; Мп – масса протона; Мн – масса нейтрона; Мя – масса ядра изотопа. Так как

Мя=МА-Zm,

где МА – масса изотопа и m – масса электрона, то предыдущее уравнение можно заменить следующим:

M , то реакция идет с поглощением энергии. Отметим, что в последнюю

формулу так же, как и при вычислении энергии связи ядра, мы можем подставлять массу изотопов, а не ядер, так как поправки на массу электронов оболочки входят с разными знаками и поэтому исключаются.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d=15 см, текут токи I1=70 A и I2=50 А в противоположных направлениях (рис. 2). Найти магнитную индукцию В в точке А удаленной на r1=20 см от первого и r2=30 см от второго проводника.

77

Решение. Согласно принципу суперпозиции полей магнитной индукции в точке А равна векторной сумме магнитных индукций, созданных каждым

Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной а=10 см, по которому течет ток силой 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл. Найти работу, совершаемыми внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его

противоположных сторон на угол 1 2 . При повороте контура сила тока в

нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

78

направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникнет момент сил, определенной формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами.

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что Pm I S Ia , где I – сила тока в контуре, S= a 2 – площадь контура, получим

dA IBa sin d

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол 1 2 :

Найти радиус R витка и шаг h винтовой линии.

Решение. Так как магнитное поле направлено под углом к скорости электрона, то дальнейшее его движение представляет геометрическую сумму двух одновременных движений: вращение по окружности со скоростью Vsin в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и перемещения вдоль поля со

79

Подставив значения величин m, v, е, В и α и произведя вычисления, получим

R=0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью vх за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот:

где Т R − период вращения электрона. Подставив это выражение для Т в vz

формулу (2), найдем

Подставив в эту формулу значения величин π, R и α и вычислить, получим h=2,06 мм.

Пример 4. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,1Тл равномерно вращается рамка, содержащая N=1000 витков, с частотой n=10c-1 . Площадь S рамки равна 150 см2 . Определить мгновенное значение э.д.с. εi , соответствующему углу повороту рамки в 30о.

Решение: Мгновенное значение э.д.с. индукции εi определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла:

i dt

Потокосцепление

ψ=NФ,

где N – число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение ψ в формулу (1) получим

i dt

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающей рамку в момент времени t, изменяется по закону Ф BS cos t , где В – магнитная индукция; S – площадь рамки; ω – круговая частота.

Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найден мгновенное значение э.д.с. индукции:

80

Произведя вычисление по формуле (4), найдем

εi=47,1В

Пример 5. При скорости изменения силы точка I / t в соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает э.д.с. самоиндукции εi=0,08В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение: Индуктивность соленоида связана с э.д.с. самоиндукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотношением:

i (LI) .t t

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим:i L tl .

Опустив знак «минус» в этом равенстве (направление э.д.с. в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину – индуктивность, получим:

Сделав вычисление по этой формуле, найдем

L=1,6 мГн.

Пример 6. От двух когерентных источников S1 и S2 ( =0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n=1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?

Решение. Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы.

Оптическая разность хода световых волн, распространяющихся в воздухе от источников S1 и S2 до точки P, равна

где 1 и 2 - геометрические пути световых волн; no – абсолютный показатель

где k1 = 0, ±1, ±2, ±3 ….; λ - длина световой волны в воздухе (вакууме).

После внесения мыльной пленки оптическая разность хода указанных световых волн становится равной