Задачи по Физике
.pdf
21
вне сферы (r R) q . 4 0 r
Во всех формулах, приведенных для потенциала заряженной сферы, есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
Потенциал электрического поля, образуемого системой n точечных зарядов в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, равен алгебраической сумме потенциалов 1 , 2 , ...., n , создаваемых
отдельными точечными зарядами q1 , q 2 ,..., q n :
n
i .
i 1
Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов q1 , q 2 ,..., q n
определяется работой, которую эта система может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
1 n
W 2 i 1 qi i ,
где i - потенциал поля, создаваемый всеми (n-1) зарядами (за исключением i- го) в точке, где находится заряд qi .
Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
Е grad .
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта
связь выражается формулой
d r ,
E drr
или в скалярной форме
E ddr .
В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой его
точке одинакова как по абсолютному значению, так и по направлению, –
Е 1 2 , d
где 1 и 2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d - расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии. Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1, в другую, имеющую потенциал2, равна
A q( 1 2 ), или A q E d ,
|
22 |
|
|
где E – проекция вектора E |
на направление перемещения; d - перемещение. |
Вслучае однородного поля последняя формула принимает вид
АqE cos ,
где – перемещение; - угол между направлениями вектора E и перемеще-
ния .
Диполь есть система двух точечных (равных по абсолютному значению и противоположных по знаку) зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.
Электрический момент р диполя есть вектор, направленный от отрицательного
заряда к положительному, равный произведению заряда q на вектор , проведенный от отрицательного заряда к положительному, и называемый
плечом диполя, т.е.
.
р q
Диполь называется точечным, если его плечо намного меньше расстояния r
от центра диполя до точки, в которой нас интересует действие диполя |
( |
|
r), см. рис. 1. |
|
|
Рис. 1
Напряженность поля точечного диполя:
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
1 |
3 cos2 |
, |
||||
|
|
|
|||||||
4 |
0 |
r 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где р – электрический момент диполя; r – абсолютное значение радиус-вектора,
проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас
интересует; - угол между радиус-вектором r и плечом диполя. Напряженность поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя
( =0), находится по формуле
E |
|
p |
|
; |
|
|
|
||
2 |
0 |
r 3 |
||
|
|
|
|
23
в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его
|
|
|
|
|
|
|
середины |
, – по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
E |
|
p |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
0 |
r 3 |
||
|
|
|
|
|
|
Потенциал поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя ( =0), составляет
|
|
p |
|
, |
|
|
|
||
4 |
0 |
r 2 |
||
|
|
|
|
а в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его
|
|
|
=0. |
середины |
, – |
||
|
|
2 |
|
Напряженность и потенциал неточечного диполя определяются так же как и |
|||
для системы зарядов. |
|
||
Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом р, |
||||
помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е, – |
||||
|
|
|
|
|
М рЕ , или М рЕ sin , |
|
|||
|
|
|
|
|
где - угол между направлениями векторов р и Е . |
|
|||
Электроемкость уединенного проводника или конденсатора – C |
q , |
|||
|
|
|
|
|
где q – заряд, сообщенный проводнику; |
- изменение |
потенциала, |
||
вызванное этим зарядом.
Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью , – С 4 0 R .
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то ее электроемкость при этом не изменяется.
Электроемкость плоского конденсатора: C 0S , d
где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами; - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.
Электроемкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектрика толщиной di и диэлектрической проницаемостью i каждый (слоистый конденсатор), составляет
С |
|
|
|
0S |
||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
d1 |
|
d 2 |
... |
d n |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
||
24
Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусом R1 и R2 , пространство между которыми заполнено диэлектриком с
диэлектрической проницаемостью ) находится так:
С 4 0 R1R 2 . R 2 R1
Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов составляет:
в общем случае – |
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
1 |
, |
где n – число конденсаторов; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
С |
|
С1 |
|
С2 |
|
Сn |
|
||
в случае двух конденсаторов – С |
С1С2 |
; |
||||||||
С1 |
С2 |
|||||||||
в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый –
С Сn1 .
Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов определяется следующим образом:
вобщем случае – С=С1+С2+…+Сn;
вслучае двух конденсаторов – С= С1+С2;
вслучае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый –
С=nС1.
Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал и электроемкость С проводника следующим образом:
С2 q q 2
W 2 2 2С .
Энергия заряженного конденсатора –
W |
СU 2 |
|
qU |
|
q 2 |
, |
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
2C |
|
|
где q – заряд конденсатора; С – электроемкость конденсатора; U – разность потенциалов на его пластинах.
Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема):
12 0 Е 2 12 ED ,
где Е – напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ; D – электрическое смещение.
Сила постоянного тока – I qt ,
где q – количество электричества, прошедшего через поперечное сечение проводника за время t.
25
Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения проводника:
|
I |
|
||
j |
|
|
k , |
|
S |
||||
|
|
|||
|
|
|
||
где k - единичный вектор, по направлению совпадающий с движением положительных носителей заряда.
Сопротивление однородного проводника – R S ,
где - удельное сопротивление вещества проводника; – его длина. Проводимость G проводника и удельная проводимость вещества определяются так:
G R1 ; 1 .
Зависимость удельного сопротивления от температуры – = 0 (1+ t),
где и 0 – значения удельного сопротивления соответственно при t и 00С, где t – температура (по шкале Цельсия); - температурный коэффициент сопротивления.
Сопротивление соединения проводников рассчитывается следующим образом: при последовательном соединении –
n
R R i ;
i 1
|
|
|
1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
при параллельном соединении – |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R |
|
i 1 |
R i |
|
|
|
|
|
|
|
где Ri – сопротивление i-го проводника; n – число проводников. |
|||||||||||||
Закон Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для однородного участка цепи ( 12=0) – |
I |
|
U |
|
1 2 |
; |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
для неоднородного участка цепи – |
I |
( 1 2 ) 12 |
; |
||||||||||
|
|
|
R r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для замкнутой цепи – |
I |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где 1 2 - разность |
потенциалов |
на |
|
концах участка цепи; 12 – ЭДС |
|||||||||
источника тока, входящего в участок; U – напряжение на участке цепи; R - сопротивление цепи (участка цепи); - ЭДС всех источников тока цепи. Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е.
n
Ii 0 ,
i 1
где n – число токов, сходящихся в узле.
26
Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме величин электродвижущих сил, т.е.
n k
Ii R i = i ,
i 1 i 1
где Ii – сила тока на i-ом участке; Ri – активное сопротивление на i-ом участке;I – ЭДС источников тока на i-ом участке; n – число участков, содержащих активное сопротивление; k – число участков, содержащих источник тока.
Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами на участке цепи постоянного тока за время t, –
A IUt .
Мощность тока – P UI .
Закон Джоуля-Ленца – Q I2 Rt ,
где Q – количество теплоты, выделяющейся на участке цепи за время t.
Закон Джоуля-Ленца справедлив при условии, если участок цепи неподвижен и в нем не происходят химические превращения.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А =2 м, В = 7м/с; С = -0,5м/с3. Найти координату x, скорость v и ускорение a точки в момент времени t, равный 2 с.
Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А,В,С и времени t:
x=(2+7∙2-0,5∙23)=12 м.
Мгновенная скорость есть первая производная от координат по времени: v = dxdt = B +3Ct2.
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени: a = dvdt = 6Ct2.
В момент времени t=2с
v =(7-3∙0,5∙22) = 1м/с; a = 6 · 0,5 ·2 = 6 м/с2.
Пример 2. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α = 400 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
1) высоту h подъема тела; 2) дальность S полета тела (по горизонтали); 3)время движения тела.
27
Решение. Перемещение тела можно разложить на два: горизонтальное вдоль оси x и вертикальное вдоль оси y (см. рисунок). Применяя закон независимости движений, имеем
h = voyt |
gt2 |
; |
|
||
2 |
|
|
S = vox · 2t, |
|
|
где t – время подъема; 2t – время полета. |
|
|
(1)
(2)
Из рисунка видно, что v0y =v0sinα; v0x = v0cosα . В верхней точке подъема vy = 0, и из уравнения vy = v0y – gt получаем, что v0sin α = gt. Отсюда время подъема равно
t = v0 sin 10 0,64 0,65 c. g 9,8
Подставив значение t в (1), получим высоту, на которую поднимется тело:
h= |
v0 sin 2 |
|
10 0.64 2 |
|
|
|
2,1 м. |
||
|
2g |
|
2 |
9,8 |
Подставив значение t в (2), найдем дальность полета:
S = v0 cosα 2t = 10·0,77·1,3 = 10м. Время полета 2t = 2 · 0,64 = 1,3 с.
Пример 3. Диск радиусом R =5 см вращается вокруг неподвижной оси так,
что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ω = 2At + 5Bt4, где А = 2 рад/с2, В = 1 рад/с5.
Найти для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов диска.
Решение. Полное ускорение может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения a , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения an, направленного к центру кривизны траектории, см.
рисунок. |
|
|
|
||
а |
а |
а n . |
28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как векторы а и |
а n взаимно |
||||||
|
|
|
|
|
перпендикулярны, то модуль ускорения – |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
a 2 a n2 . Тангенциальное и нормальное |
|||||||
a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ускорения точки вращающегося тела |
|||||||
|
a |
|||||||||||
|
выражаются формулами |
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|||||||||
O |
|
|
a |
|
r ; |
a |
n |
2r , |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
где ε – угловое ускорение тела; ω – угловая |
|||||||||||
скорость тела. |
|
|
|
|
|
|||||||
R |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По условию задачи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 2 Аt + 5 Bt4. |
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
R 2A 20Bt 3 0,05 2 2 20 1 1 1,2 м/с2; |
||||||||||||||||
a |
|
R R |
d |
|
|||||||||||||||||
|
dt |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a n 2 R R 2At 5Bt 4 2 0,05 2 21 5 1 14 4,05 м/с2. |
|||||||||||||||||||||
Полное ускорение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
a 2 |
a n2 |
|
1,2 2 |
4,05 2 |
4,22 м/с2. |
|||||||||||
Угол поворота диска равен φ = 2πN (где N –число оборотов), но угловая |
|||||||||||||||||||||
скорость составляет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, dt 2At 5Bt 4 dt At 2 Bt 5 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда число оборотов диска – |
N |
|
|
|
At 2 Bt 5 |
|
2 12 1 15 |
0,48 . |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 3,14 |
|||||
Пример 4. Маховик вращается с постоянной частотой n0=10 c-1. При торможении он начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6c-1. Найти угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов.
Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной 0 и конечной ω
угловыми скоростями соотношением 2 2 |
2 ; откуда |
2 |
2 |
|
0 . |
||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
29
Но так как φ = 2 π N, ω = 2 π n, то |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
n 2 n 2 |
|
|
3,14 62 102 |
4,02 |
2 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
рад/с . |
||||
|
2 |
N |
|
50 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Знак «минус» указывает на то, что маховик вращается замедленно.
Для определения продолжительности торможения используем формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью вращения и временем: φ = ωсрt. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени, и поэтому ср можно выразить так:
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
0 |
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
n0 n t . Откуда |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2N |
|
|
2 50 |
6,25 с. |
|||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
10 6 |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
n |
0 |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. К нити подвешен груз массой m=1 кг. Найти силу натяжения нити FH , если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением a=5 м/с2; 2) опускать с тем
же ускорением.
Решение.
На поднимаемый груз, действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити FH (вверх), см. рисунок. Применив второй закон
Ньютона, |
получим, |
что |
ma=FH-mg. |
Отсюда |
FH m a g 1(5 9,8) 14,8 H. |
|
|
||
На опускаемый груз также действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити FH (вверх). Применив второй закон Ньютона, получим, что ma mg FH . Отсюда
FH m(g a) 4,8 H.
Пример 6. По плоскости с углом наклона 300 к горизонту скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения k = 0,15.
|
Решение |
|
|
Уравнение движения |
тела в |
векторной форме |
|
(второй закон Ньютона): |
|
||
|
|
|
|
N mg Fтр ma .
В проекциях на оси x и y это уравнение примет вид
mgsin Fтр ma ; |
(1) |
N mscos 0 . |
(2) |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (2) N mgcos , см. рисунок. Сила трения |
|
|
||||||||
|
Fтр kN kmgcos . |
|
|
|||||||
Тогда, подставив Fтр |
в уравнение (1), получим выражение |
|
|
|||||||
|
mgsinα-kmgcosα=ma, |
|
|
|||||||
отсюда a=g(sinα-kcosα). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость тела v v0 |
at , но v0=0; поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||||
v at g sin k cos t 9,8 |
0,15 |
|
2 19,6 0,5 |
0,13 7,25 |
м/с. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 7. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары – абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением
|
K |
2 |
|
m |
u |
2 |
|
m |
2 |
u |
2 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
(1) |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m1v1 |
|
|
m1 v1 |
|
|
|
|||||||
где K1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и K2 – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии. По закону сохранения импульса, с учетом того, что второй шар до удара покоился, имеем
m1v1 m1u1 m2 u 2 .
По закону сохранения механической энергии – |
|
m1v12 |
|
|
mu12 |
|
m2 u 22 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
Решая совместно два последних уравнения, найдём, что |
u |
2 |
|
|
2m1v1 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 m2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставив выражение u2 |
|
|
|
2m1v1 |
в равенство (1), получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
m1 |
m2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
m |
2m v |
2 |
|
4m m |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 m2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m1 v1 m1 m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.
Пример 8. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 0,05 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В точке, наиболее удалённой от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Угол поворота шара меняется