Опорник

Лекція “Первинна математико–статистична обробка експериментальних даних”

План лекції:

1. Оцінка погрішностей експерименту.

2.Експериментальна оцінка середньоквадратичного відхилення.

3.Визначення надійного інтервалу вимірюваної величини

4.Послідовність математичної обробки експериментальних даних.

1. Оцінка погрішностей експерименту.

Основною складовою частиною будь-якого експерименту є вимірювання. Від старанності вимірювань і наступних обчислень залежать результати експерименту.

На кожен результат експерименту впливають різні випадкові чинники, які неможливо врахувати. Отже, реальний результат спостереження завжди є випадковою величиною, що відхиляється від істинного значення. Це відхилення називається помилкою спостереження. Помилка спостереження також є випадковою величиною, тому що вона є результатом дії випадкових (неврахованих) чинників.

Розрізняють помилки трьох типів:

-систематичні,

-випадкові

-грубі ("промахи").

Систематичною називають помилку, що залишається постійною або закономірно змінюється при повторних визначеннях однієї і тієї ж величини. Виявити систематичні помилки, а також усунути їх у багатьох випадках дуже важко. Потрібен ретельний розбір методів аналізу, сувора перевірка всіх вимірювальних приладів і безумовне виконання вироблених практикою правил експериментальних робіт.

Якщо систематичні помилки викликані відомими причинами, то їх можна визначити (наприклад, погрішність, яка викликана температурним розширенням об'єкту, що вимірюється, і вимірювального приладу). Подібні погрішності усувають введенням поправок.

Випадковою називають помилку, що змінюється випадково при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини. Вона може бути позитивною і негативною.

Випадкові помилки з'являються як з об'єктивних, так і суб'єктивних причин, наприклад; недосконалість приладів, їх освітлення і розташування; зміна температури під час вимірювання, напруги в електричній мережі; забруднення реактивів.

При багатократному визначенні якогось показника можуть зустрічатися результати, які значно відрізняються від інших результатів тієї ж серії. Вони можуть бути слідством грубої помилки, що була викликана неуважністю експериментатора, який неправильно зробив вимірювання або записав одну

цифру замість іншої їх легко виявити. Для виявлення помилок необхідно провести вимірювання в інших умовах або повторити їх через деякийчас.

При проведенні експерименту дослідник одержує ряд значень величини, що вимірюється. Через наявність випадкових помилок окремі значення вимірюваньнеоднакові.

Допустимо, що в результаті п вимірювань величини в, проведених з однаковою точністю, одержаний ряд значень: у1, у2,… уn Як відмічено в теорії помилок, найбільша близьким до істинного значення величини, яка вимірюється, є середнє арифметичне значення:

(6.1)

Середнє арифметичне значення часто (для стислості) називають просто середнім значенням.

Помилку к-говимірюваннюможна записати у вигляді: (6.2)

де у - невідоме істинне значення вимірюваної величини.

2.Експериментальна оцінка середньоквадратичного відхилення.

Одержані при експериментальному дослідженні якогось технологічного процесу результати залежать від цілого ряду чинників.

Під розподілом випадкової величини розуміють сукупність всіх можливих значень випадкової величини і відповідної їм вірогідності. Законом розподілу

випадкової величини називається будь-яке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідною вірогідністю.

Випадкова величина має нормальний закон розподілу, якщо вона виявляє собою суму дуже великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму приблизний однаковий.

Якщо вимірюванняшуканої величини (у) проводилисябагаторазів, то результати можна наочнопредставити, побудувавшидіаграму, якадемонструвала б,як часто виходили тіабо інші значення. Такадіаграма називаєтьсягістограмою.

Якщо вимірювання продовжувати до тих пір, поки число значень вимірювань(n) нестанедуже великим, тоширинуінтервалівможна зробитидуже малою. Гістограма на межі перейде в безперервну криву, яка називаєтьсякривою

розподілу.

У основі теорії випадкових помилок лежать два припущення, які підтверджуються досвідом:

1.При великому числі вимірювань випадкові погрішності однакової величини, але з різними знаками, зустрічаються однаково часто.

2.Великі (за абсолютною величиною) погрішності зустрічаються рідше, ніж малі, тобто можливість появи погрішності зменшується із зростаннямвеличинипогрішності.

Відповідно до закону великих чисел при нескінченно великому числі вимірювань (n) істинне значення величини (у), яка вимірюється, дорівнює середньоарифметичному значенню всіхрезультатів вимірювань

Значення цієї величини визначає форму кривої розподілу /(уь). Три криві густина нормального розподілу при різноманітних а зображені на мал. 6.2. Площі під трьома кривими однакові, але при малих значеннях а криві більше вигнуті і мають більше значення /(Ук)- Із збільшенням а значення /(*)тах зменшується, і крива розподілу витягується уздовж осі уь.

Таким чином, щонайвища крива характеризує густину розподілу випадкової величини, відтворність якої в повторних вимірюваннях краща, ніж відтворність випадкових величин, які мають велику густину розподілу (нижчі криві).

Після визначення наближеного значення величини, яка вимірюється необхідно визначити надійність знайденого дійсногозначення.

Інтервал (у-є; у + є), в якому знаходиться із заданою вірогідністю істинне значення в, називається надійним інтервалом.

Довірчою вірогідністю (надійністю) результату серії вимірювань називається вірогідність Ф(і) (або а) того, що істинне значення у величини, яка вимірюється, потрапляє в даний надійний інтервал. Ця величина визначається в частинкаходиниці або у відсотках.

Так, щоб характеризувати істинне значення результату вимірювання, потрібно знати як погрішність, так і надійність. Якщо довірчий інтервал

збільшується, то росте надійність того, що істинне значення в потрапляє в даний інтервал. У більшості експериментальних задач надійна вірогідність складає 0,90-0,95 і велика надійність не потрібна.

Таким чином, функція густини нормального розподілу випадкової величини характеризується двома параметрами: істинним значенням у і середньоквадратичним відхиленнямS.

Квадрат середньоквадратичного відхилення називають дисперсією випадкової величини, яка є кількісною характеристикою розкиду результатів уk у області справжнього значення у.

Міра розсіювання результатів окремих вимірювань уk у області середнього значення у повинна виражатися в тих же одиницях, що і значення величини, яка вимірюється. Тому як показник розкиду результатів частіше використовують величину

Експериментальну оцінку середньоквадратичного відхилення

відзначають буквою S.

Квадрат експериментальної оцінки середньоквадратичного відхилення S2

є експериментальною оцінкою дисперсії. Якщо істинне значення у відомо, то при кількості повторень п оцінка дисперсії складає

Різницю між числом незалежних результатів при п повтореннях і числом рівнянь, в яких ці результати використовуються для розрахунку невідомих оцінок називають числом ступенів свободи f.

Однорідність дисперсії перевіряють за допомогою різноманітних статистичних критеріїв. Найпростішим з них є критерій Фішера, призначений для порівняння двох дисперсій. Критерій Фішера (F -крітерій) виявляє собою відношення більшої дисперсії до меншої, йогорозраховують по формулі:

де S1>S2.

Одержана величина зрівнюється з табличною величиною FT -крітерій Фішера.

Якщо набуто значення дисперсійного відношення більше приведеного в таблиці для відповідних ступенів свободи і вибраного рівня значущості, то дисперсії значно відрізняються одна від одної, тобто вони неоднорідні.

3. Визначення надійного інтервалу вимірюваної величини

Надійна помилка ε розраховується за допомогою критерію Стьюдента

t(α,f).

Найшвидшим методом визначення грубої помилки є метод, заснований на оцінці максимальних розбіжностей одержаних результатів. Для цієї перевірки

результати досвіду розташовують увпорядкований ряд, що росте, якнайменшому результату надається перший номер (у1), а максимальному результату - найбільший (уn).

Залежно від того, який результат виявляється сумнівним, роблять наступне. Якщо "сумнівний" результат буде найбільшим (уn), то розраховують

відношення

а якщо "сумнівний"результатбуде(у1), тоді

Отримане значення α порівнюють з табличним α .

Якщо виявиться, що α>α , то "сумнівний" результат є помилковим, і його варто виключити зі всіх наступних операцій по статистичному опрацьовуванню одержаних результатів.

Визначення грубихпомилок покритерію максимальноговідхилення.

Допустимо, що в результаті досвіду одержано n повторних спостережень у1, у2,.... уn і виникає підозра, що якесь із спостережень є грубоюпомилкою. Для перевірки такого припущення потрібно розрахувати і визначити відносне для к- то значення відхилення

Якщо знайдене rр не переважає за абсолютною величиною табличного значення rр для вибраного рівня значущості і числа ступенів свободи /= п - 2, то "сумнівний" результат виключати не можна.

Для оцінки спеціально вибранихмінімальних або максимальних

Визначення грубих помилок за критерієм Стьюдента.

Для визначення грубих помилок можна також користуватися критерієм Стьюдента, значення якого беруть з таблиці розподілу Стьюдента залежно від числа ступенів свободи і рівня значущості ц (0,05 або 0,01).

Значення критерію Стьюдента для "сумнівного" результату розраховується за формулою

Результат досліду вважається грубою помилкою, якщо експериментальне значення критерію (по модулю більше табличного)

Після виключення грубих помилок проводять математичну обробку досвідчених даних, які залишилися. Таким чином, математичну обробку результатів аналізу слід проводити в два етапи: первинна обробка - для виключення грубих помилок і вторинна - для визначення точності одержаних експериментальних даних.

4.Послідовність математичної обробки експериментальних даних.

Для обробки результатів спостереження необхідно:

1.Визначення середнього значення одержаних результатів, тобто обчислення середньої арифметичної.

2.Визначення відхилення від середнього значення для кожного результату.

3.Обчислення дисперсії S2(уk).

4.Обчислення стандартного відхилення окремого значення і стандартного відхилення середнього результату.

5.Перевірка надійності одержаних результатів по критерію

Ст'юдента. В більшості випадків при хіміко-технологічних дослідженнях приймають а = 0,95 або 0,99.

6. Встановлення інтервалу, в якому з надійною вірогідністю а знаходитиметься середній результат.

7.Визначення відносної помилки

Після виключення грубих помилок проводиться вторинна обробка по такій же схемі, але вже без виключення експериментальних даних.

Лекція "Математичне планування експерименту в наукових дослідженнях "

План лекції:

1.Параметри і чинники оптимізації технологічних процесів.

2.Повнофакторний експеримент.

3.Дробнофакторний експеримент.

4.Симплекс - планування.

1.Параметри і чинники оптимізації технологічних процесів.

Планування експерименту - це вибір числа дослідів і умов їх

проведення, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю. Для планування експерименту необхідно:

1.Вибрати об'єкт дослідження.

2.Визначити мету дослідження (параметр оптимізації).

3.Вибрати вхідні параметри (чинники, які впливають на процес).

4.Вибрати метод і методику дослідження.

5.Перевірити точність вибраного методу дослідження. Параметри - фізичні величини, які зберігають постійне значення за

фіксованих умов процесу, і такі, що приймають різні, не репродуктивні значення за інших умов.

Для опису поняття "об'єкт дослідження" можна використовувати уявлення про кібернетичну систему. Таку кібернетичну систему називають "чорним ящиком". Стрілки зображають чисельні характеристики цілей дослідження і називаються початковими параметрами або параметрами оптимізації (вихід "чорного ящика").

Для проведення експерименту необхідно впливати на поведінку "чорного ящика". Всі засоби впливу називаються вхідними параметрами або чинниками (вхід "чорного ящика").

Параметр оптимізації повинен бути:

ефективним з погляду досягнення мети;

універсальним;

кількісним і виражатися одним числом;

бути простим і легким в обчисленні, мати фізичний зміст;

діючим для всіх різноманітних станів процесу.

Параметр оптимізації - показник, по якому оптимізація проводитиметься.

При дослідженні технологічних процесів параметрами оптимізації можуть бути: вихід продукції, продуктивність апарату, показники якості продукції, собівартість, сировинні витрати. Дуже поширені задачі оптимізації виходу якогось продукту в результаті технологічного процесу (спирту, екстракту).

Важливе значення має також і економічний параметр оптимізації.

Для багатьох технологічних процесів характерне застосування дорогих вхідних напівпродуктів і сировини. Тому при оптимізації таких процесів вимушені прагнути не тільки до максимального виходу реакції, але і до мінімальних витрат.

Чинники - це змінні величини (якісні і кількісні), які є рухомою силою будь якого процесу, що визначають його характер і відповідають способам дії зовнішнього середовища на об'єкт.

При плануванні експерименту до чинників також висувають певні вимоги:

1.Чинники повинні бути керованими, це означає можливість їх одночасного упровадження на вибраних рівнях і підтримки цих значень впродовж досвіду.

2.Чинники повинні бути однозначними і безпосередньо впливати на об'єктдослідження.Уплануванніексперименту

Експериментальне дослідження впливу вхідних параметрів (чинників) на вхідні може проводитися двома методами:

1.Метод пасивного експерименту.

2.Метод активного експерименту.

Експериментальне дослідження впливу вхідних параметрів (чинників) на вихідні може здійснюватися методом пасивного або активного експерименту. Якщо експеримент зводиться до отримання результатів на основі спостереження за поведінкою системи при випадкових (стохастичних) змінах вхідних параметрів, то він називається пасивним. Якщо ж при проведенні експерименту вхідні параметри змінюються за заздалегідь певним (залежить від волі експериментатора) планом, він називається активним.

Вивчення якої-небудь системи фактично зведене до відшукування функції у=f(x1, x2, x3,… xn), де п - число чинників), яка описує деяку поверхню. Це рівняння називають функцією відгуку. Воно описує деяку гіперповерхню в n-вимірному просторі (n-число чинників).

При експерименті з двома чинниками поверхня відгуку розташовуватиметься в тривимірному просторі чинника. В цьому випадку кожній крапці на площині х1 і х2 відповідатиме певна крапка на поверхні відгуку.

При експериментіз трьома чинникамизалежністьв = F(х1, х2,хз) повинна зображатися поверхня відгукув чотиривимірномупросторі (три осі-Охи,0х2, Охз і вісьОу),що наочно представитивже неможливо.

Оскільки справжній вид функції в = F(х1, х2, хз) невідомий, для опису поверхні відгуку використовують рівняння, що є розкладанням цієї функції в статечний ряд:

Рівняння регресії:

y b0 bi xi bi xi x j bii xi 2 ...

де b0, bi, bij-- коефіцієнти рівняння; xi, xj - чинники варіювання;

у - вихід процесу.

2. Повнофакторний експеримент.

Перед плануванням експерименту вибирають простір експериментування, тобто простір чинника, вивчення якого має інтерес для дослідника.

Простір експерименту визначають в два етапи: І. Вибір нульового рівня.

ІІ. Визначення інтервалу варіювання чинників.

Нульовий рівень - це значення чинників варіювання, що приведені в нормативній документації або відомі з особистого досвіду. У тій точці значення параметру оптимізації повинні бути краще зі всіх відомих значень.

Інтервал варіювання - це число, додавання якого до нульового рівня дає верхній, а віднімання - нижній рівень чинника.

Для зручності обробки і інтерпретації результатів експерименту всі чинники в безрозмірній формі, тобто проводять операцію кодування.

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі з'єднання чинників на вибраних рівнях, має назву повнофакторного експерименту (ПФЕ).

План повнофакторного експерименту з обліком взаємодії чинників

Чинники, які досліджують, варіюють на двох рівнях. Кількість дослідів в повнофакторному експерименті розраховують за формулою N = 2n (N - кількість дослідів; n - кількість чинників варіювання; 2 - кількість рівнів чинників).

3.Дробнофакторний експеримент.

При більшому числі чинників (п > 5) проведення експерименту по планах ПФЕ стає дуже трудомістким. У таких випадках для зменшення об'єму експериментальних робіт для математичного опису процесу можна використовувати певну частину повного чинника. Такий метод називається дробнофакторним експериментом (ДФЕ).

Дробнофакторний експеримент дозволяє одержати рівняння регресії при значному зниженні числа необхідних дослідів, причому у багатьох випадках в рівнянні регресії можуть бути враховані і ефекти взаємодії нижчих порядків.

Це надає можливість використовувати в плані ПФЕ стовпчики, які належать до взаємодій вищих порядків, для оцінки додаткових лінійних ефектів.

Розрахунок коефіцієнтів регресії, перевірку значущості коефіцієнтів і адекватності рівняння регресії проводять так само, як при опрацьовуванні результатів повнофакторногоексперименту.