ЛЕКЦИЯ 8.

ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

жидкость, удовлетворяющую трем гипотезам: линейности, однородности и изотропности.

Воспользуемся результатом, полученным при рассмотрении теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы. Согласно теореме, скорость угловой

деформации относительно оси y

Так как движение происходит в плоскости xOy, то uz = 0 и

Полученный результат иллюстрирует так называемый закон трения Стокса. Согласно этому закону, напряжения, возникающие в жидкости, в отличие от твердого тела, пропорциональны не величинам, а скоростям

деформаций, и связаны с ними линейной зависимостью. При этом коэффициент

пропорциональности остается неизменным и равным 2µ.

Кроме того, согласно закону Стокса касательные напряжения, как показано выше, пропорциональны скоростям угловой деформации, а

и т.д.

Рассмотрим теперь нормальные напряжения, возникающие от сил вязкости. Согласно закону Стокса, их можно записать в виде так называемых девиаторов напряжения, имеющих вид:

σxx = 2µ ∂∂uxx

∂u

σ yy = 2µ ∂ yy (8.3)

σzz = 2µ ∂∂uzz

Полные нормальные напряжения отличаются тем, что помимо записанных выше в любой, как в вязкой, так и в невязкой жидкости, действуют и статические давления. Другими словами

− −3 p + 2µ ∂∂uxx + ∂∂uyy + ∂∂uzz = 6µ ∂∂uxx −2µ div ur

откуда найдем

Вкачестве давления в вязкой жидкости принимают среднее

арифметическое, т.е. p = − pxx + pyy + pzz . И, следовательно,

3

Для несжимаемой жидкости divu = 0 , и выражения упрощаются.

8.1.2. Гипотеза однородности

Предполагается, что вид линейной зависимости между напряжениями и скоростями деформаций одинаков для всех точек пространства.

8.1.3. Гипотеза изотропности

Вязкая жидкость предполагается изотропной, т.е. ее свойства в любом направлении одинаковы.

8.2 Уравнение движения вязкой жидкости. (уравнение Навье-Стокса)

18 марта 1822 года в докладе, представленном Французской академии наук, Клод Луи Навье писал о полученных им уравнениях: «Хотя уравнения основаны на гипотезе Ньютона о том, что касательные напряжения пропорциональны скорости деформации, никак нельзя сказать, что они не выражают ничего нового».

Уравнения движения вязкой жидкости можно получить из уравнений движения в напряжениях (2.16), выполнив некоторые преобразования. Рассмотрим лишь одну проекцию этих уравнений:

Как было показано при рассмотрении модели вязкой жидкости, нормальные напряжения

pxx = −p + 2µ ∂∂uxx − 32 µ div ur

Для упрощения задачи будем считать жидкость несжимаемой ( divur = 0 ), тогда

Суммируя (8.6), (8.7) и (8.8) и группируя члены, получаем:

Третий член можно записать в виде:

µ ∂∂x ∂∂uxx + ∂∂uyy + ∂∂uzz = µ ∂∂x div ur

но жидкость несжимаема, и divu = 0 . Таким образом получаем:

Выражение в скобках есть ни что иное, как оператор Лапласа - 2ur , а µρ =ν . Окончательно получаем:

Аналогично можно расписать и две другие проекции. Полученная система уравнений движения вязкой жидкости и носит название системы уравнений Навье-Стокса.

В векторной форме можно записать

Как следует из (8.11), это уравнение отличается от уравнения движения идеальной жидкости дополнительным членом (ν 2ur), учитывающим действие сил вязкого трения.

Целью гидродинамического расчета является нахождение полей скоростей и давлений, т.е. в результате расчета должны быть найдены четыре

величины: ux , uy , uz и p. Принципиально это оказывается возможным, так как

три уравнения Навье-Стокса (в проекциях) плюс уравнение неразрывности образуют замкнутую систему. Плотность и вязкость, входящие в них,

считаются известными, а проекции массовых сил (X, Y, Z) задаются условиями конкретной задачи.

С чисто математических позиций уравнения Навье-Стокса относится к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Одно из наиболее неприятных из их свойств - нелинейность, обусловленная наличием конвективных членов ускорения. Следует отметить, что до настоящего времени вследствие практически непреодолимых математических трудностей не получено ни одного общего решения уравнений Навье-Стокса в их полном виде, т.е. при сохранении всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость. Известны лишь отдельные частные решения.

Одним из основных граничных условий при интегрировании является условие «прилипания», т.е. равенство нулю скорости жидкости на стенке.