КАФЕДРА «СУДОСТРОИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВО» |
|
ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА |
гидромеханика |
приходим к выводу, что если частица движется вдоль линии тока, то функция тока остается постоянной (при ψ = const , dψ = 0 и (6.12) превращается в (6.10)). Проверим теперь, является ли функция тока гармонической функцией, т.е. удовлетворяет ли она уравнению Лапласа.
Для плоского потенциального течения ωz = 0 |
, но ωz = |
1 |
∂uy |
|
∂u |
|
= 0 , |
|
|
|
|
− |
|
x |
|||
|
|
|
||||||
|
|
∂ x |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
∂ y |
|
||
откуда ∂∂uxy = ∂∂uyx . Из (6.14) ux = ∂∂ψy и uy = −∂∂ψx , следовательно
∂∂x − ∂∂ψx = ∂∂y ∂∂ψy ,
откуда
∂ 2ψ |
+ |
∂ 2ψ |
= 0 . |
∂ x2 |
|
∂ y2 |
|
Таким образом, функция тока, как и потенциал скорости, является гармонической функцией. И еще одно важное обстоятельство. Если потенциал скорости существует только в потенциальном потоке, то функция тока этим условием не ограничена. Это объясняется тем, что уравнение неразрывности, которое используется для получения этого понятия, справедливо как для вихревого, так и для безвихревого движений.
6.5. Гидромеханический смысл функции тока.
Установим гидромеханический смысл функции тока, для чего проведем
|
две |
|
достаточно |
близко |
|
|
|||
|
расположенные линии тока (рис. 6.2). |
|||
|
Вычислим |
объемный |
расход |
|
|
жидкости, протекающий между ними, |
|||
|
для чего разложим вектор скорости |
|||
|
частицы u |
на две составляющие ux и |
||
|
uy , что позволит представить расход |
|||
|
как |
сумму |
dQ = dQx +dQy , |
при этом |
|
dQx |
= ux dy и dQy = −uy dx (рис. 6.2). |
||
|
|
|
||
Рис. 6.2 |
dQ =ux dy −uy dx |
|
||
Q = ∫B |
(ux dy −uy dx)= ∫B dψ =ψB −ψA |
(6.15) |
A |
A |
|
т.е. разность значений функций тока на двух смежных линиях тока равна объемному расходу между ними.
Page 45 из 87 |
5 |
Конспект лекций по гидромеханике |
КАФЕДРА «СУДОСТРОИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВО» |
|
ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА |
гидромеханика |
6.6. Связь потенциала скорости и функции тока.
Связь между этими параметрами может быть легко установлена, если записать полученные выше выражения для проекций скоростей
ux = |
∂ϕ |
; |
|
|
|
uy = |
∂ϕ |
; |
|
|
|
||||||||
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
|
|
||||||
ux = |
∂ψ |
|
; |
|
uy = − |
∂ψ |
, |
|
|
||||||||||
∂ y |
|
|
∂ x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
||||
|
∂ϕ |
= |
|
∂ψ |
; |
|
∂ϕ |
|
= − |
∂ψ |
. |
(6.16) |
|||||||
|
|
|
∂ y |
|
∂ y |
|
|||||||||||||
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
||||||||||
Эти |
|
|
соотношения |
|
играют |
чрезвычайно |
|||||||||||||
важную роль в механике жидкости и носят название соотношений Коши-Римана. Более
подробно они будут рассмотрены ниже. Пока |
||
же ограничимся тем, что перемножим их. Это |
||
Рис. 6.3 |
дает |
|
|
|
|
∂ϕ ∂ϕ |
= −∂ψ ∂ψ |
(6.17) |
∂ x ∂ y |
∂ y ∂ x |
|
Из математики известно, что выражения типа (6.17) свидетельствуют о взаимной ортогональности кривых. Следовательно, линии тока и эквипотенциальные линии образуют сетку взаимно ортогональных кривых, которая носит название гидродинамической сетки движения. Примерный ее вид показан на рис. 6.3.
Page 46 из 87 |
6 |
Конспект лекций по гидромеханике |