• Элементы квантовой механики

Формула де Бройля, выражающая связь длины волны  с импульсом движущейся частицы

(46)

Соотношения неопределенностей

А)Для координаты и импульса частицы

, (47)

где p_x – неопределенность проекции импульса частицы на ось x; x – неопределенность ее координаты.

Б)Для энергии и времени

, (48)

где Е – неопределенность энергии данного квантового состояния; t – время пребывания системы в этом состоянии.

Одномерное временное уравнение Шредингера

(49)

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы

(50)

эту функцию можно представить в виде:

(51)

где первый множитель

- координатная часть волновой функции

второй множитель

- временная часть волновой функции

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

(52)

где Е – полная энергия частицы; U=U(x) – потенциальная энергия частицы; =(x) – координатная (или амплитудная) часть волновой функции.

Вероятность обнаружить частицу в интервале от x до x+dx (в одномерном случае) выражается формулой

(53)

Вероятность обнаружить частицу в интервале от x₁ до x₂ находится интегрированием dW в указанных пределах:

(54)

Вероятность обнаружить частицу в интервале от  до 

(55)

Эта формула называется условием нормировки. Она означает, что если частица существует то мы всегда сможем ее обнаружить где-нибудь на бесконечном интервале.

Собственное значение энергии Е_n частицы, находящейся на n-ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике, определяется формулой

(n=1, 2, 3, …) (56)

где l – ширина потенциального ящика.

Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид

(57)

Примеры решения задач

Задача 1

На стеклянную призму с преломляющим углом  = 50 падает луч света под углом  = 30. Определить угол отклонения  луча призмой, если показатель преломления n стекла равен 1,56.

Решение.

Принято решать задачи в общем виде, получая в результате итоговое выражение для искомой величины. Но данную задачу целесообразно решать, производя промежуточные вычисления. Точность расчётов несколько теряется, но зато решение становится более простым и наглядным.

Из рисунка видно, что: , (1) а углы 1 и 2 можно выразить через углы , , , , которые и нужно последовательно вычислить. Из закона преломления: можно выразить : ,  = 18,7;

Из рисунка видно, что угол падения на вторую грань призмы ₂^ равен:

 =31,3;

Угол  меньше предельного (_пред):

,

поэтому на второй грани луч преломится и выйдет из призмы.

Опять-таки по закону преломления:

,

откуда можно выразить ₁^:

,

 =54,1.

Теперь можно найти углы ₁ и ₂:

,

 = 11,3;

 = 22,8.

Остаётся по формуле (1) найти угол :

Задача 2

На толстую стеклянную пластинку, покрытую очень тонкой плёнкой с показателем преломления 1,4, падает нормально параллельный пучок монохроматического света ( = 0,6 мкм). Отражённый свет максимально ослаблен вследствие интерференции. Определить толщину d плёнки.

Решение.

Из пучка, падающего на плёнку, выделим луч SA. Ход этого луча в общем случае, когда угол падения   0, показан на рисунке.

В точках A и B падающий луч частично отражается и частично преломляется. Отражённые лучки AS₁ и BCS₂ падают на собирающую линзу L, пересекаются в её фокусе F и интерферируют между собой.

Так как показатель преломления воздуха (n₁ = 1.00029) меньше показателя преломления вещества плёнки (n₂ = 1.4), который, в свою очередь, меньше показателя преломления стекла (n₃ = 1.5), то в обоих случаях отражение происходит от оптически более плотной среды. Поэтому фаза колебания луча AS₁ при отражении в точке A изменяется на ; и точно так же на  изменяется фаза колебания луча BCS₂ при отражении в точке B. Таким образом, результат интерференции этих лучей при пересечении в фокусе F линзы будет такой же, как если бы никакого изменения фазы у обоих лучей не было.

Условие максимального ослабления света при интерференции в тонких плёнках состоит в том, что оптическая разность хода  интерферирующих волн должна быть равна нечётному числу полуволн:

.

Как видно из рисунка, в данном случае оптическая разность хода:

.

Следовательно, условие минимума интенсивности примет вид:

.

Если угол падения  будет уменьшаться, стремясь к нулю, то:

,

,

где d – толщина плёнки.

В пределе при  = 0 получится:

,

откуда искомая толщина плёнки:

.

Полагая k = 0, 1, 2, 3, …, Получим ряд возможных значений толщины плёнки:

;

;

и так далее.

Задача 3

На диафрагму с круглым отверстием радиусом R = 1 мм падает нормально параллельный лучок света (длина волны  = 0,05 мкм). На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние b_max от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины ещё будет наблюдаться тёмное пятно.

Решение.

Расстояние, при котором будет видно тёмное пятно, определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон чётное, то в центре дифракционной картины будет тёмное пятно.

Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее чётное число равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором ещё будет наблюдаться тёмное пятно в центре картины, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.

Как видно из рисунка, расстояние от точки наблюдения на экране до края отверстия больше, чем расстояние b = bmax, на величину 2(/2). По теореме Пифагора: Если учесть, что <<bmax и что членом 2 можно пренебречь, то последнее равенство можно переписать в виде:

,

откуда:

.

Произведя вычисления, находим:

b_max = 1 м.

Задача 4

На дифракционную решётку нормально к её поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны  = 0,5 мкм. Помещённая вблизи решётки линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удалённый от линзы на расстояние L = 1 м. Расстояние l между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см. Определить:

Постоянную d дифракционной решётки;

Числоn штрихов на 1 см;

Число максимумов, которое даёт данная решётка;

Максимальный угол _max отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму.

Решение.

Постоянная дифракционной решётки d, длина волны  и угол  отклонения лучей, соответствующих k-му дифракционному максимуму, связаны соотношением:

. (1)

В данном случае k = 1. Ввиду того, что l/2<<L :

, (2)

а из рисунка видно, что:

. (3)

С учётом равенств (2) и (3) соотношение (1) примет вид:

,

откуда постоянная решётки:

.

Подставляя данные, получим:

d = 4,95 мкм.

Число штрихов на 1 см находится из формулы:

,

n = 2,0210³ см^-1.

Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решёткой, нужно найти максимальный порядок k_max исходя из того, что угол  отклонения лучей решёткой не может превышать 90.

Из соотношения (1):

. (4)

k_max = 9,9.

Число k, однако, обязательно должно быть целым. Оно не может принять значение 10, так как в этом случае sin  должен был бы быть больше единицы, что невозможно. Значит, k_max = 9.

Таким образом, влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов ,k_max = 9, то есть всего 18; необходимо учесть также центральный нулевой максимум, и тогда общее число максимумов N равно 19.

Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму, нужно выразить из соотношения (4) синус сего угла:

.

Отсюда:

.

Подставив значения величин и произведя вычисления, получим:

_max = 65,4.

Задача 5.

Пластинка кварца толщиной d₁ = 1 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на угол ₁ = 20. Определить:

Какова должна быть толщина d₂ кварцевой пластинки, помещённой между двумя «параллельными» николями, чтобы свет был полностью погашен?

Какой длины l трубку с раствором сахара массовой концентрацией С = 0,4 кг/л надо поместить между николями для получения того же эффекта? Удельное вращение [] раствора сахара равно 0,665 град/(мкгм^-3).

Решение.

Угол поворота плоскости поляризации кварцевой пластинкой определяется соотношением:

 = d. (1)

Из сего соотношения можно выразить искомую толщину d₂ пластинки:

, (2)

где ₂ – угол поворота плоскости поляризации, при котором свет будет полностью погашен (₂ = 90).

Постоянную вращения для кварца также можно найти с помощью соотношения (1), подставив заданные в условии величины:

.

Подставив это выражение для  в формулу (2), получим:

;

d₂ = 4,5 мм.

Длину трубки с сахарным раствором можно найти из соотношения:

,

где d – толщина раствора сахара, равная в данном случае длине трубки l. Отсюда получим:

.

Подставив значения всех величин и произведя вычисления, найдём:

l = 0,38 м.

Задача 6.

Длина волны _m, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения чёрного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости , рассчитанную на интервал длин волн  = 1 нм вблизи _m.

Решение.

Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры:

. (1)

Температуру Т можно выразить из закона смещения Вина _m = b/Т, откуда:

. (2)

Подставив полученное выражение (2) в формулу (1), найдём:

. (3)

Значение С в таблицах даётся в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн  = 1 м. По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм. Значение С нужно таким образом пересчитать на заданный интервал:

С = 1,3010^-5 Вт/(м³К⁵) = 1,3010^-5 Вт/(м²мК⁵) = 1,3010^-14 Вт/(м²нмК⁵).

Вычисление по формуле (3) даёт:

Задача 7

Фотон с энергией  = 0,75 МэВ рассеялся на свободном Электроне под углом  = 60. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить:

Энергию ^/ рассеянного фотона;

Кинетическую энергию Т электрона отдачи;

Направление его движения.

Решение.

1. Энергию рассеянного фотона можно найти, воспользовавшись формулой Комптона:

.

Выразив длины волн  и  через энергии  и  соответствующих фотонов, получим:

.

Разделим обе части последнего равенства на hc:

.

Обозначив энергию покоя электрона m₀c² через Е₀, выразим :

. (1)

Подставив числовые значения величин, получим:

 = 0,43 МэВ.

2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией  падающего фотона и энергией  рассеянного фотона:

Т =  -  = 0,32 МэВ.

3. Направление движения электрона отдачи можно найти, применив закон сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона равен векторной импульсов рассеянного фотона и электрона отдачи :

.

Векторная диаграмма импульсов изображена на рисунке. Все векторы проведены из точки О, где находится электрон в момент соударения с фотоном. Угол  определяет направление движения электрона отдачи. Из треугольника ОСD находим: , или: .

Так как и , то:

. (2)

Формулу (2) надо преобразовать так, чтобы угол  выражался непосредственно через величины  и , заданные в условии задачи. Из формулы (1) следует:

. (3)

Заменим в формуле (2) соотношение / по формуле (3):

.

Применив формулы тригонометрии:

,

;

после соответствующих преобразований получим:

. (4)

После вычисления по формуле (4) получим tg = 0,701, откуда  = 35.

Задача 8.

Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.

Решение.

Согласно теории Бора, радиус r орбиты и скорость V электрона на этой орбите связаны равенством:

.

Так как в задаче требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n = 1 и данное выше равенство принимает вид:

. (1)

Для определения двух неизвестных величин r и V необходимо ещё одно уравнение, в качестве которого можно взять уравнение движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона можно записать:

,

где e и m – заряд и масса электрона, или:

. (2)

Совместное решение равенств (1) и (2) относительно r даёт:

.

Подставив в это выражение числовые значения, получим:

r = 5,2910-11 м.

Из равенства (1) получим выражение скорости электрона на первой орбите:

.

Произведя по этой формуле вычисления, найдём:

V = 2,1810⁶ м/с.

Задача 9.

Определить начальную активность А₀ радиоактивного магния ²⁷Mg массой m = 0,2 мкг, а так же радиоактивность А по истечении времени t = 1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.

Решение.

Начальная радиоактивность изотопа:

, (1)

где  - постоянная радиоактивного распада, а N₀ – количество атомов изотопа в начальный момент (t = 0).

Если учесть, что:

;

;

то формула (1) примет вид:

. (2)

Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведём вычисления:

А₀ = 5,1510¹² Бк.

Активность изотопа уменьшается со временем по закону:

. (3)

Заменив в формуле (3) постоянную распада  её выражением, получим:

.

Так как eln2 = 2, то окончательно:

.

Сделав подстановку числовых значений, получим:

А = 8,0510¹⁰ Бк.

Задача 10.

Вычислить дефект массы m и энергию связи Е_св ядра ¹¹₅В.

Решение.

Дефект массы ядра определяется по формуле:

. (1)

Вычисление дефекта массы выполним во внесистемных единицах (а.е.м.). Для ядра ¹¹₅В:

Z = 5, А = 11. Массы нейтральных атомов водорода и бора, а так же нейтрона (n) найдём из соответствующей таблицы.

Подставим найденные массы в выражение (1) и произведём вычисления:

m = 0,08186 а.е.м.

Энергия связи ядра определяется соотношением:

. (2)

Энергию связи также найдём во внесистемных единицах (МэВ). Для этого дефект массы подставим в выражение (2) в а.е.м., а коэффициент пропорциональности (с²) – в МэВ/(а.е.м.), то есть:

Е_св = 931,40,08186 МэВ = 76,24 МэВ.

Задача 11.

Кинетическая энергия электрона Т в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение.

Неопределённость координаты и импульса электрона связаны соотношением:

. (1)

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится импульс, а значит, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью x = l/2. Соотношение неопределённостей (1) можно записать в этом случае в виде (l/2)p  h, откуда:

. (2)

Физически разумная неопределённость импульса p, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса, то есть p  p. Импульс связан с кинетической энергией Т соотношением:

.

Заменим p значением - такая замена не увеличит l. Переходя от неравенства (2) к равенству, получим:

.

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим:

l_min = 124 пм.

Задача 12.

Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном направлении оси х. Высота U₀ потенциального барьера равна 5 эВ. При какой Ширине d барьера вероятность W прохождения электрона через него будет равна 0,2?

Решение.

Вероятность W прохождения частицы через потенциальный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D (W = D). Тогда вероятность того, что электрон пройдёт через прямоугольную потенциальную ступень, выразится соотношением: , (1) где m – масса электрона. Потенцируя это выражение, получим:

.

Для удобства вычислений изменим знак у правой и левой частей сего равенства и выразим d:

.

Входящие в эту формулу величины выразить в единицах СИ и произведём вычисления:

d = 4,9510^-10 м = 0,495 нм.

Учитывая, что формула (1) приближённая и вычисления носят оценочный характер, можно принять d  0,5 нм.