Квадратична формула Гауса

Нехай функція задана на проміжку. Ставиться задача: вибрати точкиі коефіцієнти, щоб квадратична формула

(1)

була точкою для усіх поліномів найбільш можливого степеня .

Так як в розпорядженні є сталих, то ця найбільша степінь дорівнює(коефіцієнти полінома-сталих).

Теорема 1. Для того, щоб формула (1) була квадратичною найвищого алгебраїчного степеня точності, необхідно і достатньо, щоб вузли збігались з нулями багаточленів Лагранжа, причому така квадратурна формула єдина. При цьому

(2)

де - нулі поліномів Лежандра, .

При цьому ;;.

Залишковий член квадратурної формули Гауса:

, де

Елементи формули Гауса:

п	1	2	3		4		5			6			7				8
і	1	1,2	1,3	2	1,4	2,3	1,5	2,4	3	1,6	2,5	3,4	1,7	2,6	3,5	4		1,8	2,7	3,6	4,5
	0	±0,57735027	±0,77459667	0	±0,86113631	±0,33998104	±0,90617985	±0,53846931	0	±0,93246951	±0,66120939	±0,23861919	±0,94910791	±0,74153119	±0,40584515	0		±0,96028986	±0,79666648	±0,52553242	±0,18343464
	2	1	5/9=0,55555556	8/9=0,88888889	0,34785484	0,65214516	0,23692688	0,47862868	0,56888889	0,17132450	0,36076158	0,46791394	0,12948496	0,27970540	0,38183006	0,41795918		0,10122854	0,22238104	0,31370664	0,36268378

Приклад 1. Обчислити за формулою Гауса з трьома ординатами.

Порівняння похибок квадратурних формул

Розглянуті квадратурні формули мають таку структуру:

,

де - константи, а- залишковий член.

При тій самій кількості вузлів величина для різних квадрат є різною.

Приклад 1. Порівняти точність різних квадратурних формул з трьома ординатами для .

За формулою Сімпсона: .

За формулою Чебишова:

За формулою Гауса:

З цього видно, що є найбільш точною. Але у конкретних випадках більш груба квадратурна формула при одному і тому ж кроці інтегрування інколи може бути більш точний результат. Точність квадратурної формули при фіксованому числі вузлів суттєво залежить від розташування вузлів. При невдалому розташуванні вузлів квадратурна формула може дати дуже неточні результати. При наявності великої кількості нулів функції на відрізку рекомендується розбити основний відрізок інтегрування на частинні відрізки, всередині яких функціїзберігають сталий знак, і виконати інтегрування назі своїм кроком інтегрування. У більш складних випадках необхідно урахувати також поведінку похідних вищих порядків. Для сильно осцилюючих функцій треба застосовувати спеціальні методи обчислення інтегралів.

При знаходженні повної граничної похибки квадратурної формули треба урахувати і похибку округлення. Нехай складові обчислені з абсолютною похибкою, яка не перевищує, а коефіцієнтиобчислені точно. Тоді. Величиназнайдена при.

Тоді загальна похибка: .

При зменшенні кроку інтегрування величиназменшується, азалишається сталою, тому існує оптимальне значення, при якому. У ряді випадківзростає зі зменшенням. У цьому випадку застосовуютьметоди регуляризації для визначення оптимального кроку інтегрування .