Поліноми Чебишова

Похибка формули Лагранжа залежать від вигляду функції, яка не піддається регулюванню, і добутку, який залежить від вузлів інтерполяції. При невдалому розташуванні вузлів інтерполяції верхня межа модуля похибкиможе бути дуже великою. Наприклад, якщо взяти вузли біля одного з кінців відрізка, тобуде дуже великою. Виникає задача про найбільш раціональний вибір вузлів інтерполяціїпри заданій їх кількостіп, щоб мала найменше значення максимуму на відрізку.

Цю задачу розв’язав П.Л. Чебишова, який довів, що найкращий вибір вузлів інтерполяції задається формулою:

, де - нулі полінома Чебишова. .

Тоді: .

Вузли не рівновіддалені. Вони згущаються біля кінців відрізка.

Властивості поліномів Чебишова

1. Функція - поліномп степеня.

2. Поліноми Чебишова І роду ортогональна на відрізку з вагою: .

3. Усі корені знаходяться на інтервалі, тобто вони усі дійсні і.

4. Максимальна значення надорівнює 1:.

5. Коефіцієнт при длядорівнює.

6. Поліном парний при парномуп і непарний при непарному п.

7. Основні рекурентні співвідношення для :

8. Основна властивість поліномів Чебишова: серед усіх поліномів степеня п поліном найменше відхиляються від 0. Приклади:

Інші методи інтерполяції. Інтерполяційний багаточлен Ньютона

Інколи зручніше при функціональній інтерполяції використовувати багаточлени Ньютона, якими можна послідовно підвищувати степінь інтерполяції при додаванні чергових доданків. Такі несиметричні багаточлени засновані на розділених і кінцевих різницях, які обчислюються по інтерпольованій сітковій функції.

Розділені різниці вводяться для функції , яка задана на нерівномірній сітці, а кінчені різниці – на рівномірній сітці.

Розділена різниця І порядку: .

Розділена різниця ІІ порядку: .

Розділена різниця -го порядку:.

Кінцева різниця І порядку: .

Кінцева різниця ІІ порядку: .

Кінцева різниця -го порядку:, де- біноміальний коефіцієнт.

Для гладких функцій іпри.

Нехай вихідна функція задана на нерівномірній сітці., тобто. Длякускового способу маємо шаблон , тоді багаточлен Ньютона-го степеня:

(1)

Глобальний спосіб: ,, тобто на сітці.

Для рівномірності сітки маємо для кускового способа:

(2)

- інтерполяційний багаточлен для інтерполяції вперед (на початку таблиці) або екстраполяції назад.

Залишковий член:

(3)

де - деяке проміжне значеннях.

Якщо фазу інтерполяції визначити відносно кінцевої точки - інтервал інтерполяції, то:

(4)

При отримаємо розв’язок задачіглобальної інтерполяції.

- багаточлен для інтерполяції назад або екстраполяції вперед – другий інтерполяційний багаточлен Ньютона.

Залишковий член записується у формі (3), де .

Зауваження:

1. Згідно з теоремою про єдиність розв’язку задачі інтерполяції багаточлен Ньютона є тотожним до багаточлену, коефіцієнти якого є розв’язком системи початкових умов або до багаточлену Лагранжа, якщо вузли інтерполяції та інтерпольована функція однакові.

2. Для підвищення (зниження) точності інтерполяції багаточленами Ньютона треба додати (відняти) відповідну кількість доданків. Це інколи спрощує алгоритм інтерполяції.

3. При інтерполяції по І або ІІ інтерполяційному багаточлені Ньютона шаблони інтерполяції доцільно вибирати так, щоб точка х була якомога ближча до середини відрізка .

4. Залишковий член (3) збігається із залишковим членом для багаточлена Лагранжа.

5. Для гладких функцій при підвищення порядку скінчених різниць виконується при розглянутих багаточленах стає менше заданої точності обчислень, збільшення степенятреба припинити.

Приклад 1. Обчислити значення функції в точці , яка задана таблицею за допомогою багаточлена Ньютона 3 степеня:

	0	1	2	3
	2	3	4	5
	7	5	8	7

1. Побудуємо багаточлен Ньютона, який виконується при довільному розташуванні вузлів. Тоді:

.

2. Для І інтерполяційного багаточлена Ньютона:

3. Для ІІ інтерполяційного багаточлена Ньютона:

Звідси длямаємо.

Приклад 2. Нехай в прикладі 1 отриманий новий результат . Розташуємо його в кінці таблиці. Розв’яжемо задачу з додатковим значенням сіткової функції.

Відповідно до (1) маємо:

Якщо додати новий вузол спочатку таблиці, то результат буде таким же

Приклад 3. Для сіткової функції, яка задана таблицею, знайти лінійний і параболічний багаточлени Ньютона, та на їх основі обчислити :

	0	1	2	3	4
	-1	0	1	3	4
	-1	0	1	27	64

Інтервал інтерполяції .

.

Порівнюючи з п. 6 для багаточленів Лагранжа, маємо .

Точне значення .

Приклад 4. Знайти апріорну оцінку похибки лінійної інтерполяції на відрізку .

Оцінимо похідну чисельними диференціюванням. Для цього знаходимо. Тоді.

Приклад 5. Для п.1 побудувати інтерполяційні багаточлени 1 і 2 степенів для знаходження значень у точках .

1. Для маємо шаблон, тобтодля параболічної інтерполяції та шаблон, тобтодля лінійної інтерполяції. Тоді.

.

2. Для маємо шаблониабодля параболічної інтерполяції таабодля лінійної інтерполяції. Тоді.

.

.

3. Для можна використати;, тобто виконаємо екстраполяцію.

4. Для виберемо спочатку шаблонабодля параболічної інтерполяції іабодля лінійної інтерполяції. Тоді.

;

.

Виберемо шаблон абодля параболічної інтерполяції таабодля лінійної інтерполяції.