Вправи для самостійного розв’язування

1. Обчислити:

3А – 4В , якщо ,.

2. Знайти добуток матриць :

а) ; б).

3. Обчислити ранг матриці за допомогою елементарних перетворень:

а) ; б); в).

4. Обчислити , якщо:

а) ,; б),.

5. Знайти матрицю, обернену до матриці:

а) ; б); в).

6. Розв’язати матричне рівняння:

а) АХ = С, б) ХВ = С, в) АХВ = С, якщо : ,,.

§ 5. Системи лінійних рівнянь

1. Загальні відомості про системи лінійних рівнянь

Рівняння з n невідомими називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді :

, (1)

де – коефіцієнти рівняння (1),b – вільний член цього рівняння.

Нехай дано m лінійних рівнянь з n невідомими

(2)

–коефіцієнт, що стоїть в і-му рівнянні при невідомому ;– вільний члені-го рівняння. Число рівнянь m у системі (2) не обов’язково дорівнює числу невідомих n. Якщо m=n, то система називається квадратною системою лінійних рівнянь, якщо , то вона називаєтьсяпрямокутною лінійною системою. Якщо , то система (2) називаєтьсяоднорідною, в протилежному випадку – неоднорідною.

Означення 1.

Розв’язком системи лінійних рівнянь (2) називається сукупність записаних у певному порядку чисел (), що є розв’язком кожного з рівнянь цієї системи.

Із шкільного курсу математики відомо, що одні системи лінійних рівнянь мають розв’язки, інші – їх не мають.

Нагадаємо, що система лінійних рівнянь, яка має розв`язки, називається сумісною; система рівнянь, яка немає жодного розв`язку, називається несумісною.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщо число її розв’язків більше одного.

Розв`язати систему лінійних рівнянь означає дослідити, сумісна вона чи ні; в разі суміжності встановити число її розв`язків і знайти ці розв`язки. При розв’язуванні систем лінійних рівнянь доводиться одну систему рівнянь замінити іншою, простішою (також може бути еквівалентна система).

Означення 2.

Дві системи лінійних рівнянь з однаковою кількістю невідомих називаються еквівалентними, якщо кожен розв`язок однієї з них є розв`язком іншої.

Інакше: дві системи називаються еквівалентними, якщо множини їх розв`язків збігаються.

Дану систему рівнянь можна перетворити на рівносильну їй систему за допомогою так званих елементарних перетворень. На цих перетвореннях ґрунтується універсальний метод розв’язування систем лінійних рівнянь.

Означення 3.

Елементарними перетвореннями систем лінійних рівнянь називають такі операції :

1. Переставляння (транспозиція) двох рівнянь системи.

2. Множення якого-небудь рівняння системи на число, відмінне від нуля.

3. Додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на деяке число.

Теорема 1.

Кожне елементарне перетворення будь-якої системи лінійних рівнянь переводить її в еквівалентну систему.

► Розглянемо систему лінійних рівнянь (2). Позначимо її символом S, а систему яку дістанемо після застосування елементарного перетворення, позначимо символом .

Якщо виконано перетворення першого типу, то система відрізняється від системиS лише порядком запису рівнянь. Тому кожен розв’язок () системиS є розв’язком і системи . Якщо виконано перетворення другого або третього типу, то системавідрізняється від системиS одним рівнянням, наприклад першим :

, (3)

або

. (4)

Очевидно, якщо система чисел () задовольняє всі рівняння системиS, вона задовольняє також і рівняння (3) і (4). Тому і в цьому випадку кожен розв’язок системи S є розв’язком і системи . Таким чином, системи S і еквівалентні. ◄