Правило обчислення рангу матриці

При обчисленні рангу матриці слід переходити від мінорів менших порядків до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор r-го порядку , відмінний від нуля, то далі потрібно обчислювати лише ті мінори (r+1)-го порядку, які обводять мінор ; якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюєr.

Приклади. 1.Обчислити ранг матриці

Розв’язання. Мінор другого порядку, що стоїть у лівому верхньому куту матриці А, дорівнює нулю. Однак у матриці є мінори другого порядку, відмінні від нуля. Таким, зокрема, є мінор

Мінор третього порядку

що обводить мінор , відмінний від нуля, =9. Обидва мінори четвертого порядку, що обводять мінор , дорівнюють нулю:

Отже, ранг матриці А дорівнює 3.

2. Дана система векторів ,,,просторуR₄. Знайти максимальну лінійно незалежну підсистему цієї системи.

Розв’язання. Складемо матрицю А, рядками якої є вектори заданої системи

Обчислимо ранг цієї матриці. Мінор третього порядку

що стоїть у лівому верхньому куту, відмінний від нуля, =2.

Визначник матриці (мінор 4-го порядку) дорівнює нулю, оскільки в ньому є два однакові стовпці.

Отже, ранг матриці А дорівнює 3. Звідси випливає, що вектори , , утворюють одну з максимальних лінійно незалежних підсистем даної системи векторів.

3. Існування оберненої матриці. Обчислення її за допомогою алгебраїчних доповнень

Використаємо теорію визначників для з’ясування питання про існування оберненої матриці.

Нехай

– довільно вибрана матриця n-го порядку.

Матриця

отримана з матриці А заміною кожного її елемента відповідним алгебраїчним доповненням, і потім ця матриця транспонована. Обчислимо добутки і

Дістанемо

==

Якщо матриця А невироджена (detA≠0), то і матриця також невироджена. Справді, з рівностей (8) отримуємо

Оскільки detA≠0, то =(detA)^n-1.

Теорема 4. Для того, щоб існувала матриця, обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.

► Необхідність. Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця А^-1. Тоді АА^-1=Е. Звідси , тобто. ТомуdetA≠0, і, отже, матриця А – невироджена.

Достатність. Нехай матриця А – не вироджена. Тоді з рівності (8) отримуємо

Обернена матриця для матриці А буде мати вигляд

◄

Доведемо, що для будь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А^-1. Справді, якщо матриця С така, що АС=СА=Е, то

САА^-1=(СА) А^-1=Е А^-1= А^-1,

СА А^-1=С(А А^-1)=СЕ=С,

і отже, С= А^-1. Таким чином, для кожної невиродженої матриці А=() існує, і притому тільки одна, обернена матриця

(9)

Співвідношення (9) називають формулою оберненої матриці.

Отже, для обчислення матриці А^-1, оберненої до А, потрібно замінити кожний елемент матриці А відповідним алгебраїчним доповненням , поділеним наdetA, і транспонувати отриману матрицю.

Якщо матриця А невироджена, то обернена до неї матриця А^-1 також невироджена. Справді, з рівності АА^-1=Е випливає, що

=

Тому матриця А^-1 також невироджена. Оберненою до матриці А^-1 є матриця А.

Приклад. Знайти матрицю, обернену до матриці

Розв’язання. Визначник цієї матриці detA=-1, тому обернена матриця А^-1 існує. Знаходимо алгебраїчні доповнення :A₁₁=-1, A₁₂=-1, A₁₃=1, A₂₁=4, A₂₂=5, A₂₃=-6, A₃₁ =3, A₃₂ =3,A₃₃= –4. Отже,