4. Обчислення визначників

Розглянемо квадратну матрицю n-го порядку

A=.

Викреслимо в ній i-й рядок і j-й стовпець. Елементи, що залишилися утворюють квадратну матрицю (n–1)-го порядку. Позначимо визначник цієї матриці через і назвемо йогомінором (n–1)-го порядку матриці A (від слова minor – менший).

Означення 9. Мінором елемента визначника Δ n-го порядку називається визначник (n–1)-го порядку, який дістаємо із Δ викреслюванням рядка і стовпця, які проходять через даний елемент.

=.

Означення 10. Алгебраїчним доповненням елемента визначника Δ називається мінор цього елемента, взятий із знаком (–1)^i+j, тобто

=(–1)^i+j. (12)

Приклад. Знайти алгебраїчне доповнення елементів і визначника

Δ=.

За формулою (12) знаходимо

Теорема 4. Кожний член добутку елемента визначника Δ n-го порядку на його алгебраїчне доповнення є також член визначника і притому з тим же знаком, що і в добутку .

► Кожний член мінора елемента має вигляд

(13)

В перших індексах члена (13) не зустрічається i, а в других індексах елементів не зустрічається j тому, що мінор не містить елементівi-го рядка і j-го стовпця визначника Δ. В мінор член (13) входить із знаком (–1), де – число інверсій у перестановці В алгебраїчне доповнення цей член увійде із знаком

Отже, кожен член добутку має вигляд:

(14)

і входить в із знаком .

З іншого боку (14) є членом і самого визначника Δ, оскільки (14) є добутком елементів Δ, взятих по одному із кожного рядка і стовпця визначника Δ.

Розглянемо підстановку

Число інверсій в першій перестановці дорівнює i-1. Дійсно, і утворює інверсію з кожним з чисел 1,2,…, i-1. Останні елементи i+1,…,n більші ніж і, тому не утворюють інверсію з і. Число інверсій в другій перестановці можна підрахувати так. Десь серед чисел є числа 1,2,…,j-1. Очевидно, що кожне з чисел 1,2,…,j-1 знаходиться в інверсії з j. Що стосується j+1,…,n, то ці числа не утворюють інверсії з j. Таким чином, відносно j маємо j-1 інверсій. Сюди треба ще додати число інверсій в перестановці . Отже, число інверсій в другій перестановцідорівнюєj-1+. Таким чином, знак члена (14) у визначнику Δ дорівнює, тобто у визначник Δ член (14) входить з тим же самим знаком, що і в добуток . ◄

Теорема 5. Якщо у визначнику n-го порядку всі елементи і-го рядка (j-го стовпця) рівні нулю, крім , то такий визначник дорівнює добутку елемента на алгебраїчне доповнення цього елемента.

► Дійсно, якщо у визначнику Δ всі елементи і-го рядка дорівнюють нулю, крім , то всі члени визначника, крім членів вигляду

Рівні нулю. А ці члени входять в . Навпаки, в силу теореми 4, кожен член добутку входить у визначник і притому з тим же самим знаком. Отже, Δ=. ◄

Теорема 5 має велике практичне значення. Використовуючи властивості визначників, вона дає можливість перейти до визначника (n–1)-го порядку і т.д. поки не прийдемо до визначника другого порядку.

Приклад. Обчислити визначник

Δ=

При допомозі властивостей визначників перетворимо Δ так, щоб всі елементи рядка чи стовпця були рівними нулю, крім одного. Візьмемо за ведучий елемент До третього стовпця додамо перший, помножений на –1, а до четвертого додамо перший, помножений на –2, дістанемо

Отже, Δ= –24.

Квадратна матриця А=()n-го порядку називається трикутною, якщо всі її елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто якщо =0 для будь-якогоі<k або =0 для будь-якогоі>k. Визначник трикутної матриці також називають трикутним. З теореми 5 випливає наслідок.

Наслідок. Якщо визначник Δ має трикутну форму, то він дорівнює добутку діагональних елементів.

,

Як відомо, кожну квадратну матрицю елементарними перетвореннями можна перетворити на трикутну. Отже, обчислення будь-якого визначника можна звести до обчислення трикутного визначника.

Приклад. Обчислити визначник

Віднімемо від четвертого рядка третій, від третього другий, від другого

перший, дістанемо

Віднімемо від четвертого рядка третій, а від третього другий, матимемо

Від четвертого рядка віднімемо третій, матимемо

Теорема 6. Визначник Δ n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:

(15)

(16)

(15) – розклад визначника за елементами і-го рядка,

(16) – розклад визначника за елементами j-го стовпця.

► Доведемо теорему для стовпців, для рядків доведення аналогічне.

Кожний елемент j-го стовпця визначника подамо у вигляді суми n доданків, з яких n–1 доданки дорівнюють нулю, а один (і-ий) доданок дорівнює :

=0+0+…+0++0+…+0, ().

Тоді, в силу властивості 7 визначника, матимемо

(17)

Вкожному з визначників правої частини (17) всі елементиj-го стовпця, крім одного, дорівнюють нулю. Тому до них можна застосувати теорему 5. Отримаємо ◄

Теорема 7. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника detA на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю:

,(i≠s), (18)

,(j≠k). (19)

► Доведемо справедливість рівності (18). Нехай

detA=

- довільно вибраний визначник n-го порядку. Розкладемо його за елементами s-го рядка. Матимемо

detA= (20)

Алгебраїчні доповнення () не залежить від елементів . Тому рівність (20) буде справедливою при будь-яких значеннях елементів, зокрема й тоді, коли=. Але при = визначник detA матиме два однакові рядки і тому дорівнюватиме нулю. Отже, замінивши в обох частинах рівності (20) елементи відповідними елементами, дістанемо (приi≠s) ◄