9. Метод наименьших квадратов

Рассмотрим случай линейной функции одного аргумента (рис.3).

Рис.3 График экспериментальной линейной функции.

Найдем уравнение прямой

, (18)

наилучшим образом согласующейся с опытными точками. Такая прямая (18) может быть получена по методу наименьших квадратов (см. прил.2).

Найти параметры линейной зависимости a и b в данном методе можно по опытным значениям исогласно формулам:

и (19)

где для простоты введены обозначения

, ,,,, . (20)

Погрешности косвенного измерения этих параметров a и b можно рассчитать согласно формулам:

, , (21)

где .

Используя уравнение (18), подставив в него найденные коэффициенты a и b, можно построить график линеаризованной зависимости. Для этого нужно взять произвольные значения иабсцисс двух точек. Затем, согласно уравнению прямой вычислить соответствующие им координаты по формулам

и .

Отметив на графике две точки с координатами () и () можно провести через них единственную прямую (рис.2б).

Вариант I Измерение объема тела цилиндрической формы

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

1. Штангенциркуль.

2. Тело цилиндрической формы.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

1. Измерение длин

В науке и технике для определения длин и расстояний используется большое количество приборов, обеспечивающих измерение их с различной точностью. Деления шкал измерительных приборов не могут быть очень мелкими - иначе они будут практически неразличимы (это не относится к цифровым приборам). Широко применяются для измерения длин масштабные линейки, расстояние между ближайшими соседними отметками шкалы которых (цена деления) равно одному миллиметру. Неточность измерения масштабной линейки не превышает половины цены деления, т.е. 0,5 мм. Для более точного измерения длин используют приборы, снабженные линейным нониусом или микрометрическим винтом.

Нониус представляет собой небольшую дополнительную шкалу 1 (рис.4), которая может перемещаться вдоль основной шкалы 2. Расстояние между соседними штрихами дополнительной шкалы меньше, чем расстояние между какими-либо (не обязательно соседними) штрихами основной шкалы на 1/n долю деления последней. Обычно n = 10 или 20. Нулевое деление служит указателем. Если указатель совпадает с каким-либо целым делением основной шкалы, то n-е деление нониуса также совпадает с целым делением шкалы. Если же указатель отстоит на k/n долей от какого-либо деления шкалы, то с целым делением шкалы совпадает k-е деление нониуса.

Таким образом, мы получаем следующее правило отсчета по шкале с нониусом. Следует отсчитать число целых делений шкалы, предшествующих положению нуля нониуса, и прибавить к нему число n - ых долей деления, равное номеру того деления нониуса, которое совпадает с каким-либо штрихом основной шкалы. Так на рис.4 длина измеряемого тела составляет 7,6 мм.

Рис. 4. Нониус

Цена деления нониуса равна С/n, где С - цена деления основной шкалы, n – число делений нониуса.