5.Полная и относительная погрешность

Для того чтобы оценить границы полной погрешности результата измерений сравним систематическую погрешность и среднее квадратичное отклонение. Если их отношение попадает в интервал значений , рассчитаем полную погрешность согласно формуле:

. (8)

Если же выполняется неравенство , тогда полную погрешность считаем равной систематической погрешности . В случае пренебрегаем систематической погрешностью, т.е. .

Истинное (абсолютное) значение измеряемой величины будет находиться в пределах доверительного интервала ее значений, записанного в стандартной форме (см. п.7):

при . (9)

Графически доверительный интервал значений измеренной величины можно изобразить в виде отрезка на числовой прямой (рис. 1).

Рис.1. Доверительный интервал значений величины .

Если измерение величины производиться один раз или повторные результаты измерения величины одинаковы, тогда погрешность измерения будет определяться только систематической погрешностью прибора.

Качественной мерой точности результатов измерения является относительная погрешность , определяемая из сравнения случайной погрешности измеренной величины со средним значением этой величины:

, (10)

или в процентах

. (11)

6. Оценка погрешности косвенных измерений

Рассмотрим, каким образом оценить случайную погрешность косвенно измеряемой величины , которая зависит от некоторого числапрямо измеряемых величин, т.е. является функцией

(12)

Среднее значение можно найти из известной функциональной зависимости (12), подставляя в качестве аргументов усредненные по всем проведенным опытам значения прямо измеренных величин

(13)

Из теории вероятности следует, что относительная погрешность косвенного измерения величины при условии независимости погрешностей измеряемых аргументов друг от друга определяется формулой:

, (14)

где - частная производная,- полные погрешности прямо измеренных величин, рассчитанные при одинаковой доверительной вероятностиР.

Частная производная - это такая производная, которую вычисляют от функциипо аргументу, считая все остальные аргументы постоянными.

С учетом того, что формулу (14) для относительной погрешности косвенно измеряемой величины можно представить как

. (15)

Формулу (14) применяют в тех случаях, когда в зависимости (12) измеряемые величины входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (15) оказывается особенно удобной тогда, когда правая часть (12) представляет собой произведение величин.

Из формулы (15) получим значение случайной погрешности косвенного измерения

(16)

Окончательно записываем результат измерения в виде доверительного интервала:

при . (17)

Это значит, что истинное значение с вероятностью находится в пределе интервала (в 95 случаях из 100 результат измерений попадает в этот интервал).