Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
16
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
496.78 Кб
Скачать

РАЗДЕЛ. I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

 

Тема 1. Элементы теории множеств. Понятие функции

1.1. Типовые примеры

 

 

 

 

 

Пример 1.1.1. Для функции f (x)=

x

 

, x [2,) найти

x2 +1

 

 

 

 

f (3), f (2), f (4), f (x2 ), f (x +1),

1

.

f (x)

 

 

 

 

 

Решение:

Значение функции f (3)

ласти определения функции.

f (2)=

2

=

2

; f (4)=

22 +1

5

 

 

 

не вычисляем, т.к. x = −3 не принадлежит об-

 

4

=

 

4

; f (x2 )=

x2

 

=

 

x2

;

4

2

17

2

x

4

+1

 

 

(x2 ) +1

 

+1

 

f (x +1)=

x +1

 

=

x +1

;

1

=

x2 +1

.

 

 

 

(x +1)2

 

x2 + 2x + 2

f (x)

 

 

 

 

 

+1

 

 

x

 

 

 

Пример 1.1.2. Найти область определения функции y =

x3

 

 

.

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Решение. Функция представлена в виде дроби, которая определена при всех значениях x , для которых определены числитель и знаменатель, и знаменатель не обращается в нуль. Области определения не принадлежат значения x , для которых

x2 4 = 0 x2 4 = (x + 2)(x 2) x = −2, x = 2 .

 

 

 

1

2

2

2

x

D =(−∞, 2) (2,2) (2,).

РИС. 1.1.1

 

 

 

Пример 1.1.3. Найти

область

определения, область

значений функции

y = x 1 и найти значения функции в точках: x1 =1, x2 =5,

x3 = 0.

 

 

 

4

 

Решение. Область определения D находится из условия x 1 0 x 1.

Следовательно, D =[1, ).

Область значений E =[0,

)

(корень арифмети-

ческий). Частные значения:

f (1) = 0, f (5)= 4 = 2,

f (0)

– не существует.

Пример 1.1.4. Даны два числовых множества:

A =[23,9) и B =[1,17].

Найти AB, A Β, A\B, B\A.

 

 

 

Решение. Изобразим заданные множества на числовой оси (рис. 1.1.2).

 

A

B

 

–23

1

9

17

 

РИС. 1.1.2

 

Тогда решением задачи будут множества

 

 

A B =[1,9) , A B =[23,17] ,

A \ B =[23,1) , B \ A =[9,17].

1.2.Контрольные вопросы

1)Что называется функцией, областью определения функции, областью значений функции?

2)Какие функции называются основными элементарными функциями?

3)Дайте определение следующих свойств функции: четность, нечетность; периодичность, ограниченность, приведите примеры.

4)Что называется графиком функции?

5)Что называется пересечением множеств?

6)Что называется объединением множеств?

7)Что называется разностью множеств?

1.3.Практические задания

1.3.1. Для функции f (x)=

x

 

 

,

x [2, ) найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +1

 

 

 

 

 

 

 

f (3), f (2),

f (4),

f (x2 ),

f (x +1),

 

1

.

f

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.2. Для функции f (x)=1 + 2

1

 

 

x (0, ) найти

 

 

 

x

,

 

 

 

f (0),

f (1),

f (

5), f

1

, f (a 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

Построить график функции и вычислить частные значения.

5

 

3 + x

при

x 0,

 

 

 

1.3.3. Пусть

 

 

 

 

 

Найти f (3),

f (0), f (1),

f (4).

f (x)=

 

 

при

 

 

2x

 

x > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

при

x < 0,

 

 

 

1.3.4. Пусть

f (x)=

 

 

 

 

в точках

x

 

 

Найти значения функции

 

 

 

2

при

x 0.

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x1 = −2, x2 = 0, x3 =3.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

при

x < −1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.5. Пусть

f (x)= x +1

при

1 x 0,

Найти

 

 

 

1 x

при

0 < x 1,

 

 

 

 

 

0

 

при

x >1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (3), f (1),

f (0),

f 1 ,

f (2).

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Найти область определения функций:

1.3.6. y =

 

x3

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

1.3.8. y =

x +

2 x

1.3.10. y =

1

 

+ lg(5x +1)

x 1

 

 

 

 

1.3.12. y =

ln x

 

 

x2 9

 

 

Построить графики функций:

1.3.14. y = x2 1 1.3.16. y = 2x3

1.3.18. y = cos x

1.3.7. y =

3x 1

 

 

 

 

 

1.3.9. y =

 

x2

 

 

+

 

2

 

x2 +

 

 

x +1

 

1

 

1.3.11. y = 2 x

+

 

 

x2 2x + 3

1.3.13. y =

1 +

 

 

 

1

 

 

 

 

x2 1

 

 

x

 

1.3.15. y = −x3

1.3.17. y = log4 (x + 2)

1.3.19.y =3sin x + π

3

6