Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / ПланыПЗ_МА_080100.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

496.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ. III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 7. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами

7.1. Типовые примеры Пример 7.1.1. Вычислить интегралы, используя таблицу интегралов,

свойства линейности и свойство:

если ∫ f (x)dx = F (x)+ C , то ∫ f (ax + b)dx =

1 F (ax + b)+ C .

а) J

∫

3cos x − 4

+ 5 dx ;

б)

∫

−

+ 3x

dx ;

в) J3 = ∫(sin 2x − 2e1−3x )dx .

Решение.

а) J

∫

cos xdx − 4

∫

+ 5

∫

dx =3sin x − 4ln

+ 5x + C ;

dx − 2∫x−3dx + 3∫xdx =

б) J2 = ∫x

x−2

−

+ 3

+ C =

+ C ;

−2

в) для вычисления интеграла воспользуемся свойством 3 и таблицей интегралов, получим

J3 = ∫sin 2xdx − 2∫e1−3xdx =

= −12 cos 2x − 2 −13 e1−3x + C = 32 e1−3x − 12 cos 2x + C.

Пример 7.1.2. Вычислить ∫e1−4xdx .

Решение. Внесем под знак дифференциала функцию u =1 − 4x , получим

u =1 − 4x

∫

1−4x

∫

−

+ C = −

1−4 x

+ C .

dx = du = −4dx

du = −

dx = −4 du

Пример 7.1.3. Вычислить ∫(x + 2)cos xdx .

Решение. Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям

+ 2,

=(x +

′

u = x

2) dx = dx,

∫

(x + 2)cos xdx =

∫

dv =

∫

dv = cos xdx, v =

cos xdx =sin x

= (x + 2)sin x − ∫sin xdx = (x + 2)sin x + cos x + C.

Пример 7.1.4. Вычислить интеграл ∫

3x4 − x3 + 3x2 +1

dx .

+ x

Решение. Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является

неправильной, поэтому выделим целую часть

−

3x4 − x3 + 3x2

+ x

3x4

+ 3x2

−1

−

−x3

− x

3x4

− x3

+ 3x2 +1

x +1

Получим

3x −

1 +

+ x

Разложим знаменатель дроби на множители x3 + x = x(x2 +1).

Правильную рациональную дробь разложим в сумму простейших дробей

x +1		x +1		A		Bx + C
	=		=		+	x2 +1 .
x3 + x		x(x2 +1)		x

Правую часть приведем к общему знаменателю и приравняем числители дробей

x +1 = A(x2 +1)+ (Bx + C )x = Ax2 + A + Bx2 + Cx . 36

Чтобы получить значения коэффициентов, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x , получим

x0		1 = A,
x0		1 = A,
x1		1 = C,
x2		0 = A + B B = −A = −1.

Используя полученные коэффициенты, запишем разложение подынтегральной функции

3x4 − x3 + 3x2 +1		=3x −1	+	1	+	−x +1		.
x3	+ x			x		x2	+1

Подставим это разложение под знак интеграла и вычислим его

∫

3x4

− x3 + 3x2 +1

3x −1

−x +1

+ x

dx = ∫

dx =

=3∫xdx − ∫dx + ∫dxx − ∫xxdx2 +1 + ∫x2dx+1 =

=32x2 − x + ln x − 12 ln (x2 +1)+ arctg x + C .

Пример 7.1.5. Вычислить интеграл ∫	x + 2	dx .

	x + 3 x2

Решение. Наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3 равно 6. Вычислим интеграл методом замены переменной

= t x

= t

(t3 + 2)6t

5dt

∫

x + 2

∫

dx = 6t5dt

x = t3

+ t

x + 3 x2

3 x2 = t4

= 6∫

t4 + 2t

dt = 6∫

2 −1 +

2t +1

dt =

6∫ t2

−1 +

dt =

= 6

+ C

− t + ln (t2 +1)+ arctg t

= 2

x − 66 x + 6ln (3 x +1)+ 6arctg 6 x + C .

Пример 7.1.6. Вычислить интеграл ∫ 1 +

cos xdx .

sin

Решение. Используя замену sin x =t , получим

∫ 1 +

cos xdx = ∫ 1 +

d (sin x)={sin x = t}=

sin

= ∫ 1 +

dt =t −

+ C

= sin x −

+ C .

sin x

Пример 7.1.7. Вычислить интеграл ∫sin2 5xdx .

Решение.

∫sin2 5xdx = ∫1 − cos102 xdx = 12 ∫dx − 12 ∫cos10xdx =

=2x − 201 sin10x + C .

7.2.Контрольные вопросы

1)Какая функция называется первообразной для функции f (x)? Сколько

первообразных имеет данная функция?

2) Что называется неопределенным интегралом от функции f (x)? Каков его геометрический смысл?

3)Какие свойства связывают операции дифференцирования и интегрирования?

4)Сформулируйте свойства линейности неопределенного интеграла.

5)Чему равен интеграл ∫ f (ax + b)dx , если ∫ f (x)dx = F (x)+ C ?

6)Запишите формулу интегрирования по частям.

7)Перечислите виды интегралов, берущихся по частям.

8)По каким правилам разбивается подынтегральное выражение на множители u и dv ?

9)Что называется рациональной дробью? Какая дробь называется правильной, неправильной? Что значит, выделить целую часть?

10)Какие дроби называются простейшими? Какой вид имеет разложение правильной дроби в сумму простейших дробей?

11)Какой вид имеет формула замены переменной в неопределенном интеграле?

7.3. Практические задания

7.3.1. Вычислить интегралы:

∫

(

3x4

2x − 3 +

а)

− 2sin x +1 dx ;

б)

dx ;

)

∫

4 − x2

в) ∫(cos(x + 2)− ex+1 )dx ;

г) ∫

;

sin2 (3x)

д)

∫

3dx

;

2x +1 −

cos

(3x +1)

е) ∫

(2x −1)

dx ;

	∫		x
ж)		sin		+	2x dx ;
			3

7.3.2. Вычислить интегралы:

а) ∫	8xdx			;	б)
	x	2	+ 4

г) ∫6x2ex3 dx ;					д)

з) ∫(5x + 3)6dx .

∫(x2 + 3)xdx ;			в)
∫	x3dx	;	е)
	x4 + 2

∫4xsin (x2 )dx ;

3x2dx

∫sin2 (x3 ).

ж) ∫sin (ln x)dxx ;

з) ∫ln7xxdx ;

и) ∫

4e dx

cos2 (ex )

7.3.3. Вычислить интегралы, используя формулы d(sin x) = cos xdx ,

а) ∫cos3 xsin xdx ;

б) ∫2sin x cos xdx ;

в) ∫

sin xdx

;

+ cos

г) ∫ctg4 x

д) ∫

е) ∫3sincosxdxx .

;

cos2 x(3 + tg x)

sin2 x

7.3.4. Вычислить интегралы, используя формулы

arcsin x

а) ∫

dx ;

б) ∫

arctg x

dx .

1 − x2

1 + x2

7.3.5. Вычислить интегралы, используя метод непосредственного интегрирования:

б)

;

5dx

2cos xdx

∫sin2

в) ∫

а) ∫3 1 + 3xdx ;

x(9 + ln2 x)

;

г) ∫

sin5 x

;

4 xdx ∫ x3dx

д) ∫x3ex dx ; е) ∫4 + x4 ; ж) 1 − x8 ; з) ∫ex 1 + ex dx .

7.3.6. Вычислить интегралы от произведения многочленов на функции sin ax ,

cos ax , eax	методом интегрирования по частям:
а) ∫xcos xdx ;				б) ∫(x + 2)exdx ;
в) ∫(1 − x)sin 2xdx ;				г) ∫(1 − 4x)cos3xdx .
7.3.7. Вычислить интегралы, содержащие функции ln x , arctg x ,								arcsin x мето-
дом интегрирования по частям:
а) ∫ln xdx ;	б) ∫x3 ln xdx ;			в) ∫arctg xdx ;		г) ∫arcsin xdx .
Вычислить интегралы:
7.3.8. ∫(2x +1)e−3xdx ;		7.3.9. ∫	1	ln xdx ;	7.3.10. ∫(2x + 3)cos 2xdx ;
			2
			x
7.3.11. ∫x3x dx ;		7.3.12. ∫xarctg xdx ;			7.3.13. ∫	xdx			;
						cos	2
								x
7.3.14. ∫x2 cos xdx ;		7.3.15. ∫ln2 xdx ;			7.3.16. ∫ln (x2 +1)dx ;

7.3.17. ∫ex sin xdx .

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

7.3.18. ∫xe−xdx ;	7.3.19. ∫xsin 2xdx ;	7.3.20. ∫xln xdx ;
7.3.21. ∫(2 −5x)cos3xdx ;	7.3.22. ∫arctg 2xdx ;	7.3.23. ∫x2e3xdx .
7.3.24. Вычислить интегралы:

а)	∫sin3 x cos xdx ;							б) ∫cos5 2x sin 2xdx ;
7.3.25. Вычислить интегралы:
а)	∫sin5 x cos3 xdx ;					б)	∫cos3 3x sin3 3xdx ;		в)
г)	∫sin	2	4x cos	3	4xdx ;	д)	∫	cos3 xdx	е)
								sin4 x ;

7.3.26. Вычислить интегралы:

∫

sin3 xdx ;

2cos3 5xdx .

а) ∫sin2 3xdx ;	б)	∫cos2 4xdx ;	в) ∫sin2	x	dx ;
				2
г) ∫sin2 x cos2 xdx ;	д)	∫sin4 2xdx ;	е) ∫2sin2 8xdx .

7.3.27. Вычислить интегралы от рациональных дробей, имеющих простые корни в знаменателе:

а) ∫		3x + 4			dx ;	б) ∫	x2 − x + 3
									dx ;
		(x −1)(x + 6)
							x(x −1)(x + 2)
г) ∫		4x +1				д) ∫	x5 + x4 −8
			dx	;				dx .
	x2 − x − 2
							x3 − 4x

7.3.28. Вычислить интегралы от рациональных дробей, имеющих кратные корни в знаменателе:

6x − 4

x2 + 2x + 2

а) ∫

dx ;

б) ∫

;

в) ∫

x +1

dx ;

г) ∫

dx .

(x + 2)3

x3 + 2x2

x4 − x2

x3 − x2

7.3.29. Вычислить интегралы от рациональных дробей, имеющих комплексные корни в знаменателе:

а) ∫

4x + 3

б) ∫

2x −1

− x2 + x −12

dx ;

в) ∫

dx .

x3 + 9x

(x + 2)(x2 +1)

x3 + 4x

7.3.30. Вычислить

интегралы

от

функций,

рационально зависящих от

, ... :

а) ∫

б) ∫

в) ∫

г) ∫

;

x − 3 x )

4 x ( x + 4)

x (

x + 24 x )

3 x2 + x

7.3.31. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

в) ∫

а) ∫

;

б) ∫

;

( x +1)3 (x + 2)

x(3 x + 2)

x (

x − 4 x )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра)

#
26.02.20161.35 Mб43Лекции_Математический анализ.pdf
#
26.02.201623.29 Mб192Линейная алгебра_080100_заоч_1_курс_экз_паспорт.pdf
#
26.02.2016753.52 Кб43Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.201620.68 Mб62Математический анализ_080100_заоч_1_курс_экз_паспорт.pdf
#
26.02.2016630.28 Кб25ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016496.78 Кб23ПланыПЗ_МА_080100.pdf