2.5.3. Как построить ортогональные проекции прямых и точек, принадлежащих плоскостямчастногоположения?

Для построения ортогональных проекций прямых и точек в плоскостях частного положения используем свойство их основнойпроекции:

одна проекция геометрической фигуры, лежащей в плоскости частного положения, совпадает с основной проекцией плоскости (собирательное свойство).

Использование этого свойства значительно упрощает решение основных задач на плоскости частного положения.

ПРИМЕР 1. Построить горизонтальные проекции точки М и прямой l, принадлежащих плоскости(c d), если известны их фронтальные проекции Миl(рис. 39а).

РЕШЕНИЕ. Заданная плоскость (cd) – горизонтально-про­ецирующая,– ее основная проекция. Согласно собирательному свойству Миlпринадлежат основной проекцииплоскости.

ПРИМЕР 2. Построить фронтальные проекции точки А и кривой k, принадлежащих плоскости (), если известны их горизонтальные проекции Аи k(рис. 39б).

РЕШЕНИЕ. Заданная плоскость () – горизонтальная,– ее основная проекция. Согласно собирательному свойству, Аи kпринадлежат.

3. Поверхности

Все объекты окружающего мира ограничены поверхностями. Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от элементарной, отличающейся простотой и математической строгостью плоскости до сложнейших, причудливых форм криволинейных поверхностей. Начертательная геометрия изучает вопросы образования, задания на чертеже и конструирования всевозможных поверхностей.

3.1. Общие сведения

3.1.1. Что такое поверхность? Как она образуется?

В начертательной геометрии образование поверхности рассматривается с кинематической точки зрения.

Поверхность–это совокупность всех последовательных положений движущейся в пространстве линии. Эта линия, называемая образующей, при движении может сохранять или изменять свою форму. Закон перемещения образующей определяется другими линиями, называемыминаправляющими, по которым скользит образующая при своем движении, а также характером движения образующей. На рис. 40а изображена поверхность, полученная перемещением прямойl. При своем движении образующаяlостается параллельной направлению s и одновременно пересекает кривую m. Таким образом движение образующейlв пространстве направляется линией m. Кинематический способ образования поверхности подводит нас к понятиюопределителяповерхности.

3.1.2. Что называют определителем поверхности?

Для каждой поверхности необходимо знать некоторую совокупность исходных данных однозначно ее определяющих. К этим данным относятся как геометрические элементы поверхности – форма образующей, направляющих, так и закон перемещения образующей.

Определительповерхности – это совокупность геометрических элементов и связей между ними, однозначно определяющих поверхность.

Условная запись определителя поверхности – Ф (Г) [A], где:

(Г) – геометрическая часть, куда входят геометрические фигуры, с помощью которых образуется поверхность;

[А] – алгоритмическая часть, описывающая способ образования поверхности.

Одна и та же поверхность может быть получена различными способами. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра Ф (рис. 41) может быть образована:

1. вращением прямой а вокруг неподвижной оси j, параллельной образующей а – Ф (а, j;a j) [a_ij ];

2. вращением кривой b вокруг неподвижной оси j; все точки кривой b равноудалены от оси j – Ф (b, j; b, j=const) [b_ij ];

3. движением окружности m, центр которой точка О перемещается по прямой j, перпендикулярной плоскости окружности

Ф (m₀, j) [пл. m0ij; О_ij].

На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой (в приведенном примере – первый).