1.2. Метод проекций

В начертательной геометрии для отображения геометрических образов на плоскость используют метод проекций. Подпроецированиемпонимают геометрические построения, которые надо вы-

полнить, чтобы получить проекциюгеометрического образа. Изучение метода проекций начинают с построения проекций точки, так как любую геометрическую фигуру следует рассматривать как множество всех принадлежащих ей точек. Различают:центральноеипараллельноепроецирование.

1.2.1. В чем сущность центрального проецирования?

Центральноепроецирование является наиболее общим способом получения проекций геометрических образов. Аппарат центрального проецирования состоит их центра проекции S и плоскости, называемой плоскостью проекций (рис.1.). Для того, чтобы получить центральную проекцию точки А, надо провести проецирующий луч SA до пересечения его с плоскостью проекций. А– центральная проекция точки А на плоскость.

Если точка К лежит на проецирующем луче, параллельном плоскости проекций, то ее центральной проекцией будет несобственная точка К.

Если две или несколько точек лежат на одном проецирующем луче, то они называются конкурирующими(рис.1, точки D и L).

Чтобы получить центральную проекцию линии, надо спроецировать на плоскость проекций множество точек этой линии (рис. 1, кривая m). Центральное проецирование применяется при построении перспективных чертежей зданий, сооружений и в живописи. Центральные проекции обладают большой наглядностью.

Отметим свойства проекций при центральном проецировании:

1. Проекция точки есть точка.

2. Проекция линии есть линия.Проекция прямой есть в общем случае прямая (рис. 2, прямая АВ). Если прямая совпадает с направлением проецирования, то её проекцией является точка (рис. 2, прямая CD).

3. Если точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии(рис. 3).

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий (рис. 4).

Эти свойства очевидны и вытекают из самого способа построения проекций.

1.2.2. В чем сущность параллельного проецирования? Каковы свойства параллельных проекций?

Если центр проекций S при центральном проецировании удалить в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Отсюда, аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций и направления проецирования s. Если через точку А (рис. 5) провести проецирующий луч параллельно направлению s, то, пересекая плоскость проекций, он даст параллельную проекцию Аточки А.

Свойства проекций при центральном проецировании справедливы и для параллельных проекций (рис. 6). Однако параллельные проекции обладают еще и другими свойствами. К ним относятся следующие свойства:

1. Проекции параллельных прямых параллельны.

Действительно, из рис. 7 видно, что прямые АА, ВВи СС, DDобразуют две параллельные плоскости. Пересекаясь с третьей плоскостью, они дают параллельные между собой линии АВи СD.

2. Если отрезок прямой делится точкой в каком-то отношении, то и проекции отрезка делятся проекцией этой точки в том же отношении.

На рис. 8 задан отрезок прямой АВ и точка С, делящая его в отношении AC/CB. Проведя АС₁АСи СВ₁СВ, получим два подобных треугольника –АСС₁СВВ₁. Из подобия их следует пропорциональность сторон:

AC / CB=AC₁/ CB₁, но AC₁=AC, а CB₁=CB;

отсюда, AC / CB=AC/ CB.

3. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения.

Параллельное проецирование в отличие от центрального обеспечивает простоту построения и большую взаимосвязь с оригиналом. Этот вид проецирования применяется для построения наглядных (аксонометрических) изображений геометрических фигур.

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проек-

ций (s), называетсяортогональнымилипрямоугольным(в другом случае –косоугольным). Рис. 9 дает наглядное представление об ортогональном проецировании: А– ортогональная проекция точки А на плоскость проекций.

Наряду со свойствами параллельных проекций для ортогональных проекций справедливо следующее свойство:

если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения.

На рис. 10 задан угол АВС = 90; сторона АВ, а сторона ВС. Докажем, чтоАВС= 90. Сторона АВ, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (АВВС по условию и АВВВпо построению). Но АВАВ, следовательно, АВ, а потому АВВС, т.е.АВС= 90.

Ортогональные проекции более просты по начертанию, удобоизмеримы и потому получили наибольшее распространение в техническом черчении.

Рассмотренные методы позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т.е. по оригиналу построить плоский чертеж. Чтобы решить обратную задачу, надо по плоскому изображению восстановить форму, размеры оригинала, расположение его в пространстве. Проекция на одну плоскость не дает полного представления об оригинале, что видно из рис. 11. Прямая АВявляется проекцией не только прямой АВ, но и прямой СD, а также кривой k и плоскости, лежащих в плоскости проецирования.

Чтобы чертеж был обратимым, необходимо его дополнить определенным образом. В начертательной геометрии применяется много различных способов получения обратимых проекционных чертежей. К таким чертежам относятся комплексный чертеж, перспективный чертеж, чертеж с числовыми отметками и др. Наибольшее применение в техническом черчении получили комплексные чертежи.