4.3. Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью

При пересечении поверхности плоскостью получается линия. Эта линия ограничивает плоскую фигуру, называемую сечением. Учитывая, что плоскостьобщегоположения можно преобразовать впроецирующую(см. раздел 5) и этим упростить задачу на построение линии сечения, далее рассматриваются случаи пересечения поверхностей только плоскостямичастногоположения – проецирующими или уровня.

Рассмотрим построение линий сечения гранных (пирамидальной, призматической), сферической, цилиндрической, конической поверхностей плоскостью.

4.3.1. Как построить линию пересечения гранных поверхностей плоскостью?

Грани пирамидальной и призматической поверхностей являются отсеками плоскостей, имеющих форму многоугольников; стороны многоугольников образуют ребра.

Фигуру сечения гранной поверхности плоскостью ограничивает ломаная прямая линия (в случае незамкнутой гранной поверхности) или многоугольник (в случае замкнутой гранной поверхности), вершины которых принадлежат ребрам, а стороны – граням таких поверхностей.

Поэтому задачу по определению линии сечения гранной поверхности плоскостью можно свести к многократному решению задач по определению точки пересечения прямой (ребра) с плоскостью или задачи по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани и секущей плоскости).

Первый путь решения называют способом ребер, второй –способом граней. Какому из способов следует отдать предпочтение, надо решать в каждом конкретном случае.

ПРИМЕР 1. Построить сечение треугольной пирамиды заданной плоскостью () (рис. 63а).

РЕШЕНИЕ.

Задачу решаем способом ребер:

SАВС = 123, где 1 = SА; 2 = SB; 3 = SС.

Анализируя заданные геометрические фигуры, отмечаем:

– ребра пирамиды SА, SВ, SС – прямые общего положения;

– плоскость ₂– фронтально-проецирующая;

 – основная ее проекция.

Решение:

а) фронтальные проекции точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью находим без дополнительных построений (рис. 63а):

1= SА; 2 = SВ; 3 = SС;

123– фронтальная проекция сечения.

б) горизонтальные проекции 1, 2, 3точек 1, 2, 3 находим по принадлежности их соответствующим ребрам пирамиды с помощью линий связи (рис. 63 б):

1SА; 2SВ; 3SС

123– горизонтальная проекция сечения.

4.3.2. Какие линии получаются при пересечении цилиндрической поверхности вращения плоскостью?

При пересечении цилиндрической поверхности вращения плоскостью (рис. 64) могут быть получены следующие линии:

1. окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения, например, плоскость ()j;

2. две образующие (прямые), если плоскость параллельна оси вращения, например, плоскость ()j;

3. эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие, т.е. не параллельна и не перпендикулярна к оси вращения, например, плоскость ().

4.3.3. Какие линии получаются при пересечении конической поверхности вращения плоскостью?

При пересечении конической поверхности вращения Ф плоскостью (рис. 65) могут быть получены следующие линии:

1. окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения, например, плоскость () на рис. 65а.

2. эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности, например, плоскость () на рис. 65б.

3. парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей поверхности, например, плоскость () на рис. 65в.

4. гипербола, если плоскость параллельна двум образующим поверхностям, например плоскость () на рис. 65г.

5. две образующие (прямые), если плоскость проходит через вершину S конической поверхности, например, плоскость () на рис. 65д.

Так как все изображенные на рис. 65 секущие плоскости фронтально-проецирующие, все перечисленные линии проецируются на фронтальную плоскость в прямые, совпадающие с основными проекциями секущих плоскостей, а на горизонтальную плоскость – соответственно в окружность, эллипс, параболу, гиперболу и две прямые.