4. Теорема сложения вероятностей совместных

событий.

Теорема: Вероятность суммы  двух  совместных  событий  равна сумме вероятностей  этих  событий  без  вероятности  их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Для трех совместных событий имеем:

 

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС).

 

Задача. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для  первого стрелка равна 0,8; для второго - 0,9. Найти вероятность поражения цели, т.е. вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в цель.

Решение: Событие А - попадание первого стрелка в мишень; событие  В - попадание второго стрелка в мишень. События А и В совместны и  независимы. По условию Р(А)=0,8; Р(В)=0,9. Находим вероятность    события  А+В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)= 0,8+0,9 - 0,80,9= 0,98

Иногда при решении задач для сложных событий со многими исходами используют «дерево вероятностей».

 

5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса (Байеса).

Пусть некоторое событие А может произойти при условии, что  появляется одно из несовместных событий (гипотез) В₁,В₂,...,В_n, образующих полную группу событий, а значит  сумма их вероятностей равна единице.

Вероятность события А, которое может произойти лишь при  появлении одного из несовместных событий  В₁,В₂,...,В_n,  образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность  события А:

Это равенство называют формулой полной вероятности, где  -  условная  вероятность   наступления  события  А  при наступлении гипотезы  В_i  .

Пусть событие А, о котором шла речь в формуле полной вероятности, уже произошло. То, что событие А произошло, изменит  вероятности  гипотез В₁,В₂,...,В_n и условная вероятность гипотез Р_A (В_i) в предложении, что событие А произошло, определится по формуле Бейеса:

Замечание: иногда эту формулу называют формула Байеса.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.д.

Задача.  На сборку поступают детали из трех цехов в отношении 1:3:6.  Количество  бракованных  деталей  в продукции цехов  соответственно  равно  5 %, 2 %, 8 %. Определить  вероятность того, что :

а) наудачу взятая деталь окажется бракованной;

б) оказавшаяся бракованной деталь изготовлена во втором цехе.

Решение: Обозначим через А - событие, что взятая наудачу деталь  окажется бракованной. Так как на сборку поступают детали из трех цехов,  то  эта  деталь  может быть изготовлена  либо  1  цехом (гипотеза В₁),  либо 2 (гипотеза В₂),  либо 3  (гипотеза  В₃). Следовательно, вероятность события А может быть найдена по формуле полной вероятности :

Вероятности гипотез В₁,В₂,...,В_n, определим по классической формуле  Р=m/n, если в качестве n принять сумму всех частей, а в качестве m - соответствующее количество частей для  данного цеха.

n=1+3+6=10 ,  m₁=1 ;  m₂= 3 ;  m₃=6 ;

Находим условные вероятности:

.

а) Вычисляем вероятность события А.

 

Р (А)=0,1 0,05 + 0,3  0,02 + 0,6  0,08 = 0,059

б) Используя формулу Бейеса, получим:

 

Если по формуле   Бейеса   подсчитать   условные вероятности всех  гипотез, то   они   в   сумме должны равняться единице.