Матем / 11

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

1.     Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

2.     Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

3.     Теорема об общем решении линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами .

4.     Вид общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.

5.     Теорема об общем решении линейных  неоднородных дифференциальных уравнений (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.

6.     Вид частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части

 

1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка    или            .

Общее решение   .

1) Иногда решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному реше­нию двух дифференциальных уравнений первого порядка (тогда говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает по­нижение порядка).

Если дифференциальное уравнение имеет вид  у"=f(х), то оно решается последовательным интегрированием.

2) Если в запись уравнения не входит искомая функция у(х), т.е. оно имеет вид    F(x,y',y")=Q,  то такое уравнение можно решить,  найдя сначала  вспомогатель­ную функцию z=y'.

 

2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным  дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где p и q – постоянные числа, а f(x)-некоторая функция.

 

3. Теорема об общем решении линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением  (ЛОДУ) II порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:               (1)

где p и q – постоянные.

Если  - решение уравнения (1), то и, где С – произвольная постоянная, также будет решением этого уравнения.

Два решения  и  уравнения (1) называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если их отношение  равно постоянному числу с,  т.е..  В  противном случае решения (функции) и  линейно независимы на этом промежутке.

Если   и  -  решения уравнения (1), то их сумма  также есть решение этого уравнения.

Теорема: Если  и  - независимые решения уравнения (1), то

                       (2)

является  общим   решением  этого   уравнения.

 

4.  Вид общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.

Уравнение                                  (3)

называется характеристическим уравнением для уравнения (1).

Если k является корнем характеристического уравнения, то  является решением уравнения (1).

1. Если характеристическое уравнение  имеет два различных действительных корня  и, то общее решение уравнения (1) имеет вид

                            (4)

2. Если характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня, то общее решение уравнения (1) имеет вид

,   т.е.          (5)

3. Если корни характеристического уравнения комплексные  числа  и, то общее решение уравнения (1 )  имеет вид:                           (6)

Пример.  Найти общее решение уравнения.

Решение.  Составим  характеристическое  уравнение.        ;   D=16-4·13<0;    D= -36 = 6² i²;  i =√ -1

- корни комплексные:  , ,    , поэтому по формуле (6) имеем

 

-общее решение.

 

5.  Теорема об общем решении  линейного  неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:                                          (7)

где p и q – данные постоянные числа , f(x) – правая часть уравнения, известная функция от x.

Теорема.  Общее решение неоднородного уравнения (7) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения,  т.е.

                               (8)

Общее решение  однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно найти, зная корни характеристического уравнения.

6.  Вид частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части

Рассмотрим несколько случаев отыскания частных решений уравнения (7)  методом неопределенных коэффициентов.

I.  Правая часть уравнения (7) – показательная функция:    

Возможны  три случая:

а) m – не является корнем характеристического уравнения.

Тогда частное решение ЛНДУ (7) ищется в  виде:

                          (9)

б)  m – простой корень характеристического уравнения

, т.е. m = k ₁  или  m = k ₂ .

В этом случае  частное решение следует искать в форме

                                                                    (10)

в )  m – кратный корень характеристического уравнения   , т.е. m = k ₁  = k ₂ .

В этом случае решение следует искать в форме

                                                                    (11)

Пример.;    

1). - характеристическое уравнение соответствующего ЛОДУ:  .      , тогда имеем:

 

- общее решение  ЛОДУ.

2). m=2 не является корнем характеристического уравнения, значит   .  Подставляем  в  данное  уравнение:    ,   ; .    Значит:

- частное решение ЛНДУ.

- общее решение ЛНДУ.

 

II. Правая часть неоднородного уравнения (7) – полином, например, второй степени:         .

Возможны два случая.

1). Если,  то Z ищется в виде:           (12)

2) Если, то частное решение Z следует искать в форме:                                        (13)

Аналогично нужно поступать, если  - полином какой-нибудь другой степени.  Произвольные постоянные, входящие в общее решение, могут быть определены из начальных условий.