Матем / 10
.docx
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1. Основные понятия и определения.
2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
4. Линейные дифференциальные уравнения I порядка.
1. Основные понятия и определения.
Уравнения, связывающие между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные различных порядков по x называютсядифференциальными уравнениями.
Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка
(1)
Решением дифференциального уравнения называется функция , которая вместе со своими производными удовлетворяет уравнению (1), т.е. обращает его в тождество.
Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция , которая зависит от аргумента x и nнезависимых произвольных постоянных, обращающая вместе со своими производными уравнение (1) в тождество.
Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным определенные числовые значения.
Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции y, производная которой равна данной функции f(x), сводится к решению простейшего дифференциального уравнения.
, , тогда.
Общее решение:
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: . В простейших случаях это уравнение может быть разрешено относительно производной: .
Общее решение уравнения имеет вид: или.
Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющими переменными называется уравнение вида
(2)
или уравнение, которое приводится к этому виду.
Пусть. Разделив обе части уравнения на это произведение, получим (3)
В уравнении (3) при dx стоит функция только от x, а при dy функция от y. В таком случае говорят, что переменные разделены.
Интегрируя, найдем общее решение уравнения (3):
Пример. Решить дифференциальное уравнение .
Решение.; ; ; ; ;; , потенцируя, находим - общее решение.
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.
Определение. Многочлен называется однородным измерения n, если все его члены имеют одно и то же измерение n, т.е. для каждого члена этого многочлена сумма показателей i+j=n
Определение. Дифференциальное уравнение или называется однородным, если функция f(x,y) однородная нулевой степени.
Уравнение запишем в таком виде:.
Введем новую переменную: или, , подставив в уравнение, получим: .
Однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющими переменными.
Следовательно, . В левой части найдем интеграл, затем вместо u подставим отношение и получим искомое общее решение.
-
Линейные дифференциальные уравнения I порядка
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную в первой степени и не содержит их произведений.
Общий вид линейного уравнения первого порядка:
Уравнение интегрируется с помощью подстановки:, тогда . Подставив у и у′ в уравнение, получим
.
Сгруппируем члены в левой части равенства
Определим функцию v так, чтобы коэффициент при u обратился в ноль. Тогда получим два уравнения:
1).; 2).
Решая 1) находим частное решение, а решая 2) – общее решение.
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.