Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матем / 3

.docx
Скачиваний:
17
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
77.27 Кб
Скачать

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

 

1.     Декартова прямоугольная система координат.

2.     Расстояние между двумя точками.

3.     Деление отрезка в данном отношении.

4.     Уравнение прямой линии на плоскости.

5.     Угол между двумя прямыми.

6.     Кривые второго порядка.

7.     Векторы.  Действия над векторами.

 

1.  Декартова прямоугольная система координат.

Аналитической геометрией называется раздел математики, в котором геометрические задачи решаются алгебраическим путем. Основой аналитической геометрии является метод координат, впервые использованный Декартом. Сущность его в том, что положение точки рассматривается относительно некоторых линий, образующих систему координат на плоскости или в пространстве.

Декартова прямоугольная система координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось Ох называется осью абсцисс, а вторая ось Оу – осью ординат, точка О – начало координат.

Координаты точки записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором – ее ордината. Например, если x1 – абсцисса точки А, а y1 – ее ордината, то это записывается так: A(x1,y1). У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты  точки О равны нулю, т.е. О (0, 0).

Две точки М1 и М2 называются симметричными  относительно некоторой прямой, если отрезок М1М2 перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой.

Две точки М1 и М2 называются симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка М1М2.

 

2.  Расстояние между двумя точками.

1. Расстояние d между точками A (x1) и B (x2), лежащими на оси Ох, определяется по формуле

d = │x2  x1 

2. Расстояние d между точками С (y1) и D (y2), лежащими на оси Оу, определяется по формуле

d = │ y2  y1

3. Расстояние d между точками A (x1,y1) и B (x2,y2)  плоскости  определяется  по  формуле:

d = √(x2  x1)2 + (y2  y1)2

 

 

 

3.  Деление отрезка в данном отношении.

Если х1, у1 – координаты точки А, а х2 , у2 –координаты точки В, то координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении

,

определяются по формулам:  ,           у = 

Если λ=1, то точка D (х0, у0) делит отрезок АВ пополам, и тогда координаты х0  и  у0  середины отрезка АВ находятся по формулам:

 

4. Уравнение прямой линии на плоскости.

Уравнением линии на плоскости ХОУ называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки не лежащей на этой линии. Если точка М (х; у) передвигается по линии L, то ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки М называются текущими координатами точки данной линии.

Углом наклона (α) прямой к оси Ох называется угол, отсчитываемый от оси Ох против движения часовой стрелки до этой прямой. Он может быть острым или тупым.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой:     k=tg α.

Виды уравнений прямой.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом :     у=kx+b

где k – угловой коэффициент прямой, а  b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

При b=0 уравнение примет вид у=kх – это уравнение  прямой,  проходящей  через начало координат.

2)  Общее уравнение прямой:     Ах+Ву+С=0

При С=0 и А=0 уравнение принимает вид Ву=0 или:

 

у=0 – это уравнение оси Ох;

При С=0 и В=0 уравнение примет вид Ах=0 или

х=0 – это уравнение оси Оу.

3) Уравнение прямой в отрезках на осях :

 

 

где  а – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох; b  – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу. Каждый из этих отрезков отложен от начала осей координат. Величины а и b  могут быть как положительными, так и отрицательными,  но  а и b  не могут равняться нулю.

4)     Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х00) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,  имеет вид:

у - у0= k (х-х0)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку А (х00), которая называется центром пучка.

5)   Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(х11) и

В (х22),  записывается так:

 

Угловой коэффициент прямой, проходящий через две данные точки, определяется по формуле:

 

 

5. Угол между двумя прямыми.

Углом между прямыми а и в называется угол, на который надо повернуть первую  прямую а вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой в.

Если две прямые   у=k1х+в1  и   y=k2х+в2   заданы  уравнениями с угловыми коэффициентами, то угол между ними φ определяется по формуле:

tg φ =

k2 – k1

 

1 + k1k2

Если уравнения прямых заданы в общем виде

A1x + B1y + C1 = 0  ,  A2x + B2y + C2 = 0,

то угол φ между ними определяется по формуле:

 

tg φ =

A1B2 – A2B1

 

A1A2 + B1B2

 

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

а) Если прямые заданы уравнениями   у=k1х+в    и    у=k2х+в2     с угловыми коэффициентами, то условие параллельности этих прямых:

k1  k2 ,  а условие перпендикулярностиk2 = - 1/ k1

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде A1x + B1y + C1 = 0  ,  A2x + B2y + C2 = 0,  то условие параллельности этих прямых:

А1 / А2 = В1 / В2 ,

а условие перпендикулярности:

А1А2 = В1 В2 ,

 

6.  Кривые второго порядка.

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Ax2 + Bхy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.

Это уравнение является:

окружностью, если А = С, В = 0, Д  +  Е  2   4АF;

эллипсом, если  АС  0, В = 0;

гиперболой, если  АС  0, В = 0;

параболой, если В = 0, А = 0 или С = 0.

Окружность.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

 

 

Если R – радиус окружности, а точка С (а;в) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид:   (x  a)2 + (y – b)R2

Это уравнение называется нормальным уравнением окружности.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение примет вид:   x2 + y2 = R2.

Если в правой части нормального уравнения  раскрыть скобки, то получится уравнение вида:  x2+y2 + mx + ny + p = 0, которое называется общим уравнением окружности.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний   которых до двух данных точек F и F1 (фокусов) есть постоянная величина 2a, большая F1F.

 

 

 

    

 

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

 

x2

+

y2

= 1

a2

b2

где   b2 = a2 – c2 (a > c).

В этом случае фокусы эллипса    F1 (-C;0), F (C;0). Эллипс симметричен относительно осей координат. Начало координат есть центр симметрии эллипса. Параметры а и в называются полуосями эллипса.

Точки А1 (-а;0); А2 (а;0); В1 (0;в); В2 (0;-в) - вершины эллипса. А2А1=2а – большая ось эллипса;  ВВ1=2в – малая ось эллипса;  F1F=2c – фокусное расстояние.

Величина ε = c/a  1 называется эксцентриситетом эллипса, он характеризует меру сжатия эллипса. Окружность можно считать частным случаем эллипса, у которого а = в, т.е. ε = 0.

Расстояние точки М (х; у) эллипса от его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами: r = a - εx;    r1 = a + εx,

где r1 = MF1 и r = MF.

Пример. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса   16x2 + 25y2 = 400

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на 400. Получим

16x2

+

25y2

=

400

400

400

400

x2

+

y2

=

1

 

25

16

 

Отсюда следует, что  а = 5, в = 4.

Так как b2 = a2 – c2, то c = √  a2 – b2     = √  25 – 16    = √9 = 3;

Тогда  координаты фокусов будут F (3;0) и F1 (-3;0).

Найдем эксцентриситет

ε =

c

=

3

a

5

 

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть постоянная величина 2а (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы имеет вид

x2

-

y2

= 1

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

          

 

 

Гипербола симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Ох в точках А (а; 0) и А1 (-а; 0) – вершинах гиперболы и не пересекает ось Оу.  Параметр а называется вещественной полуосьюв – мнимой полуосью. Параметр с = √а2 + в2 есть расстояние фокуса от центра. АА1 = 2а – вещественная ось гиперболы,  ВВ1 = 2в – мнимая ось гиперболы.

Точки А (а; 0) и А1 (-а; 0) – называются действительными вершинами гиперболы. Точки В (0; в) и В1 (0; -в) называются мнимыми вершинами гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы.

Уравнения асимптот:

y = ±

b

x

a

Асимптоты являются диагоналями прямоугольника  с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям и проходящими через вершины гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы

ε =

c

> 1

Расстояние точки М (х; у) гиперболы от ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r = |εx - a| - правый фокальный радиус-вектор;

r1 = |εx + a| - левый фокальный радиус-вектор;

Гипербола, у которой а = в, называется равнобочной, ее уравнение          х2 – у2 = а2,  а ее асимптоты совпадают с биссектрисами координатных углов у = ±х.

Уравнение

y2

-

x2

= 1

b2

a2

также является уравнением гиперболы, но действительной осью  этой  гиперболы  служит отрезок  оси  Оу  длины 2в.

Гиперболы x2/a2-y2/b2=1 и y2/b2-x2/a2=1 называются сопряженными.

Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом параболы, и данной прямой DD1, называемой ее директрисой.

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1)       у2 = 2рх – парабола симметрична относительно оси Ох.

Вершина параболы находится в начале координат.

 

   

 

Парабола у2 = 2рх имеет фокус F(p/2;0) и директрису x= -p/2

Фокальный радиус-вектор точки М (х;у) будет равен:  r = x + p/2

2)       х2 = 2ру – парабола симметрична относительно оси Оу.

Вершина параболы также находится в начале координат.

 

 

 

Парабола х2 = 2ру имеет фокус F (0; p/2) и директрису    y = -p/2.

Фокальный радиус-вектор точки М равен r = y + p/2

 

7.  Векторы.  Действия над векторами.

Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной.  Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной  или вектором.Примерами векторных величин  являются скорость, ускорение, сила. Длина вектора называется также его модулем, или абсолютной величиной.

Вектор обозначается графически отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора.

 

Будем обозначать вектор одной буквой с черточкой над ней или жирным шрифтом без черты, например, а,  модуль этого вектора обозначается а или |а|. Вектор также можно обозначать АВ, где А – начало и В – конец вектора, а его модуль АВ или |АВ|.

Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым.

Два вектора а и в называются равными, если : 1) равны их модули; 2) они параллельны и 3) направлены в одну и ту же сторону. Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор,  противоположный вектору а, обозначается через (-а).

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными.  Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные вектора) или противоположное.

Сложение векторов.

Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов а и в, приведенных к общему началу, есть третий вектор с, равный по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и в (рис.6):

 

 

Модуль вектора с вычисляется по  формуле:

|c| = √a2 + b2 + 2ab cos (a,b)

Сумму нескольких векторов, например а, b, с и d, строят по правилу многоугольника: берут произвольную точку О плоскости и из нее строят вектор ОА, равный вектору а, из точки А проводят вектор АВ, равный вектору b, из точки В – вектор ВС, равный вектору с и, наконец, из точки С строят вектор СD, равный вектору d. Вектор OD, замыкающий полученную ломаную линию OABCD, и будет суммой векторов a,b,c и d:  OD = a + b + cd

По такому же правилу строится и сумма любого числа векторов.

 

 

Вычитание  векторов.

Разностью двух векторов а и b называется такой третий вектор с, который равен сумме векторов а и (-b).  Вектор (-b) параллелен вектору b, равен ему по модулю, но противоположно направлен:

 

 

 

 

Умножение вектора на скаляр.

При умножении вектора а на скаляр k получается вектор b, модуль которого равен модулю вектора а, умноженному на k, т.е. b = a * k.

Направления векторов а и b совпадают, если k>0, и они противоположны, если k0.

Если для вектора а известны координаты его начала А(x1, y1) и координаты его конца В(x2, y2), то  проекции вектора а на координатные оси Ох и Оу определяются по формулам:   ax = x2 – x1;  ay = y2 – y1,

а модуль вектора в этом случае определяется по формуле:

|a| = √(x2  x1)2 + (y2  y1)2

При сложении (вычитании) векторов, заданных в координатной форме, их координаты складываются (вычитаются).

При умножении вектора на скаляр надо все его координаты умножить на этот скаляр.

 

Скалярное произведение двух векторов.

Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

a b = |a| |b| cos (a, b)

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в этом случае    cos (ab) = cos π/2 = 0.

Если векторы а и b заданы проекциями на координатные оси  a(ax ; ay),    b(bx ; by ),  то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

a b = axbx + ayby + azbz,

а косинус угла θ между этими векторами определяется по формуле

 

cos θ = cos (a, b) =

axbx + ayby + azbz

|a| |b|

 

Соседние файлы в папке Матем