1.3 Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями и в полярных координатах.

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы точка , называемаяполюсом, и исходящий из полюса луч , называемыйполярной осью. Положение точки в полярной системе координат определяется двумя числами:полярным радиусом и угломмежду полярной осью и вектором, называемымполярным углом. Полярный угол измеряют в радианах и отсчитывают от полярной оси против хода часовой стрелки. Запись означает, что точкаимеет полярные координатыи. Значение полярного угла, удовлетворяющее условию, называетсяглавным. В некоторых случаях главным называют значение полярного угла , удовлетворяющее условию.

Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат таким образом, чтобы её начало совпадало с полюсом, а положительная полуосьсовпадала с полярной осью полярной системы координат, тогда связь между декартовымии полярнымикоординатами точкидаётся формулами:.

Уравнения ,,называютсяпараметрическими уравнениями кривой в системе координат, если для любого значения параметраточкаи, наоборот, для любой точкисуществует значение параметратакое, что,. Исключением параметраиз параметрических уравнений, уравнениеможет быть представлено в виде.

В задачах 3.58-3.60 построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной системе координат уравнениями:

3.58 а); б); в); г).

3.59 а) ; б); в) ; г) .

3.60 а); б) ; в) ; г) .

В задачах 3.61-3.63 уравнения кривых в декартовых координатах преобразовать к полярным координатам и построить эскизы графиков кривых:

3.61 а) ; б) ; в).

3.62 а) ; б) ; в); г) .

3.63 а) ; б).

В задачах 3.64-3.65 уравнения кривых в полярных координатах преобразовать к декартовым координатам и построить эскизы графиков кривых:

3.64. а) ; б) ; в); г) .

3.65 а); б); в); г).

В задачах 3.66-3.67 требуется исключением параметра t найти уравнения заданных кривых в виде F(x,y)=0 и построить их.

3.66 А);

б)

3.67 А) ;

б)

В задачах 3.68-3.69 построить кривые:

3.68(арка циклоиды).

3.69 (астроида).

§ 2. Аналитическая геометрия в пространстве.

2.1 Прямая и плоскость в пространстве.

Плоскость в системе координатможет быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки,и;

4) -уравнение плоскости в отрезках, где ,и- дины отрезков (со знаком), отсекаемых плоскостью на координатных осях,и(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением, находится по формуле:

.

Угол ,() между плоскостями и, заданными общими уравнениями, находится по формуле:

.

, если

, если .

3.70 Написать уравнение плоскости , проходящей через заданные точкииперпендикулярно заданной плоскостиесли: а)

б)

3.71 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторами, если:

а)

б)

3.72 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно вектору, если:

а)

б) .

3.73 Написать уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки если :

а)

б)

3.74 Написать уравнение плоскости, зная, что точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

3.75 Составить уравнение плоскости: а) проходящей через точку параллельно плоскости

б) проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям: и

3.76 Написать уравнение плоскости: а) параллельной плоскости

и проходящей через точку ;б) проходящей через ось и через точку ;в) параллельной оси Оx и проходящей через две точки и (5, 1, 7).

3.77 Вычислить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями. Построить плоскости.

а)б)в).

3.78 Через точку провести плоскость, которая отсекала бы на осях координат положительные и равные между собой отрезки.

3.79 Вычислить углы между следующими плоскостями:

а) и

б) и

в) и

3.80 Вычислить расстояние:

а) точки от плоскости;

б) точки от плоскости;

в) точки от плоскости

3.81 Вычислить расстояние между плоскостями:

и

3.82 Найти точку, симметричную с началом координат относительно плоскости

3.83 На оси Оz найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: и

3,84 На расстоянии трех единиц от плоскости провести параллельную ей плоскость.

3.85 Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и- нормальные векторы плоскостейи;

2) - уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данному вектору(каноническое уравнение);

3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки,;

4) -уравнение прямой, проходящей через точку

параллельно данному вектору ,(параметрическое уравнение);

Угол ,() между прямыми и , заданными каноническими уравнениями находится по формуле:

.

, если .

, если .

Угол ,() между прямой , заданной каноническим уравнениеми плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле:.

, если .

, если .

Расстояние между параллельными прямыми и, заданными точкой и направляющим вектором находится по формуле:

.

Расстояние между скрещивающимися прямыми и, заданными точкой и направляющим вектором находится по формуле:

.

3.86 Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и, если :

а) б)

3.87 Прямая L задана общим уравнением. Написать для этой прямой, проходящей через точку , её каноническое уравнение, если:

а); б).

3.88.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:

а) вектору б) прямой

в) оси г) оси

д) прямой;е) прямой.

3.89 Задана прямая и точка.

Требуется: а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точкуб) написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямойв) вычислить расстояние

3.90 Заданы плоскость и прямаяпричем. Требуется:

а) вычислить и координаты точки пересечения прямой и плоскости;б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

3.91 Найти расстояние от точки до заданной прямой:а); б) .

3.92 При каком значении плоскостьбудет параллельна прямой.

3.93 Определить угол между прямой и плоскостью, проходящей через точки,,.

3.94 Найти расстояние между параллельными прямыми:

а) и;

б) и.

3.95 Для заданных прямых итребуется доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т.е. являются скрещивающимися и вычислить расстояние между ними:

а)и;

б)и.