1.2 Кривые на плоскости.

Кривой в системе координат называется некоторое множество точекплоскости, координаты которых и только они удовлетворяют уравнению. Уравнениеназывается при этомобщим уравнением кривой .

Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая,общее уравнение которой имеет вид:

,

где числа - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка:1) если , то общее уравнение определяет кривуюэллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при), пустое множество, точку);2) если , то - кривуюгиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если , то - кривуюпараболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола являются невырожденными кривыми второго порядка.

Окружностью называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической.

Число называетсярадиусом окружности, точка , являющаяся началом канонической системы координат называетсяцентром окружности.

Уравнение называется нормальным уравнением окружности. Оно определяет окружность с центром в точке и радиусом. Окружность имеет вид изображённый на рисунке 1 (Приложение 2).

Уравнение окружности, заданное общим уравнением в системе координат , всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к каноническому уравнениюв новой, канонической системе координат.

3. 27 Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до оси Ox вдвое больше расстояния до оси Oy.

3.28 Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки вдвое меньше расстояния до точки.

3.29 Найти центр окружности, проходящей через точку и касающейся оси абсцисс в точке

3.30 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет окружность, найти ее центр и радиус:

а) г);

б) д);

в) ; е) .

3.31 Определить, как расположена прямая относительно окружности: пересекает, касается или проходит вне ее, если прямая и окружность заданы уравнениями:

а)

б)

в)

3.32 Найти угол между радиусами окружности проведенными в точки пересечения ее с осью.

3.33 Даны точки и. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок.

3.34 Окружность касается оси в начале координат и проходит через точку. Написать её уравнение и найти точки пересечения с биссектрисами координатных углов.

Эллипсом называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Эллипс имеет вид изображённый на рисунке 2 (Приложение 2).

Числа иназываются соответственнобольшой и малой полуосями эллипса, точки ,,,- еговершинами, оси и-осями симметрии, точка , являющаяся началом канонической системы координат -центром симметрии (или просто центром) эллипса, прямоугольник со сторонами ,параллельными осям симметрии и центром в точке-основным прямоугольником эллипса. Точки и, гденазываютсяфокусами эллипса, векторы и-фокальными радиус-векторами, а числа и-фокальными радиусами точки , принадлежащей эллипсу. Число() называетсяэксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью). Прямыеиназываютсядиректрисами эллипса.

Уравнение эллипса, заданное общим уравнением в системе координат , всегда преобразованиями системы координат(поворотом, параллельным переносом, зеркальным отображением) можно привести к каноническому уравнению, в новой, канонической системе координат .

3.35 Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:

а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось ;

б) большая полуось , а эксцентриситет.

3.36 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

а)

б) ;

в) ; г) .

3.37 Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:

а) ; б) .

3.38 Написать каноническое уравнение эллипса, у которого расстояния одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.

3.39 Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и. Написать его уравнение и найти расстояния точкиот фокусов.

3.40 Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси , проходит через точкуи имеет эксцентриситет. Написать уравнение эллипса и найти расстояния точкиот фокусов.

Гиперболой называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Гипербола имеет вид изображённый на рисунке 3 (Приложение 2).

Числа иназываются соответственнодействительной и мнимой полуосями гиперболы, точки ,- еёвершинами, оси и-осями симметрии, точка , являющаяся началом канонической системы координат -центром симметрии (или просто центром) гиперболы, прямоугольник со сторонами ,параллельными осям симметрии и центром в точке-основным прямоугольником гиперболы. Точки и, гденазываютсяфокусами гиперболы, векторы и-фокальными радиус-векторами, а числа и-фокальными радиусами точки , принадлежащей гиперболе. Число() называетсяэксцентриситетом гиперболы и является мерой её «сплюснутости». Прямые иназываютсядиректрисами гиперболы.

Прямые иназываются асимптотами гиперболы. Они проходят через противоположные вершины основного прямоугольника гиперболы.

Уравнение гиперболы, заданное общим уравнением в системе координат , всегда преобразованиями системы координат(поворотом, параллельным переносом, зеркальным отображением) можно привести к каноническому уравнению, в новой, канонической системе координат .

3.41 Построить гиперболу Найти:

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

3.42 Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) рас-стояние между фокусами , а между вершинами;

б) вещественная полуось , а эксцентриситет.

3.43 Установить, что каждое из следующих уравнений опре-деляет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

а)

б) ;

в) ; г) .

3.44 На гиперболе взята точкас ординатой, равной 1. Найти расстояние ее от фокусов.

3.45 Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точкуи имеет мнимую полуось. Написать ее уравнение и найти расстояния точкиот фокусов.

Параболой называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Парабола имеет вид изображённый на рисунке 4 (Приложение 2).

Число называетсяпараметром параболы, ось -осью симметрии, точка , являющаяся началом канонической системы координат –вершиной параболы. Точка называетсяфокусом параболы, вектор -фокальным радиус-вектором, а число -фокальным радиусом точки , принадлежащей параболе. Прямаяназываетсядиректрисой параболы.

Уравнение параболы, заданное общим уравнением в системе координат , всегда преобразованиями системы координат(поворотом, параллельным переносом, зеркальным отображением) можно привести к каноническому уравнению, в новой, канонической системе координат .

3.46 Построить следующие параболы и найти их параметр:

а) б)в)г)

3.47 Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки ,и симметричной относительно;б) проходящей через точки ,и симметричной относительно.

3.48 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину

параметра р: а) б)

в) ; г) .

3.49 На параболе найти точку, фокальный радиус которой равен 4.5.

3.50 Через фокус параболы проведена прямая под углом 120° к оси . Написать уравнение прямой и найти длину образовавшейся хорды.

3.51 На параболе найти точку, ближайшую к прямойи вычислить расстояние от точкидо этой прямой.

3.52 Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса .

3.53 Найти точки пересечения асимптот гиперболы с окружностью, имеющей центр в правом фокусе

гиперболы, и проходящей через начало координат.

В задачах 3.54-3.57 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить её тип и найти каноническую систему координат.

3.54 .

3.55 .

3.56 .

3.57 .