Mat_stat_ua

3) аналіз якості рівняння і перевірка адекватності рівняння емпіричним даним.

Вибір формули зв’язку змінних називається специфікацією рівняння регресії. У випадку парної регресії вибір формули зазвичай здійснюється за графічним зображенням реальних статистичних даних у вигляді точок в декартовій системі координат, яке називається кореляційним полем (рис. 4.1).

На рисунку 4.1а взаємозв’язок між X і Y близький до лінійного. У даному випадку в якості залежності між X і Y можна взяти лінійну функцію

Y b0 b1X.

На графіку 4.1б реальний зв’язок між X і Y скоріше всього описується квадратичною функцією Y aX 2 bX c.

На графіку 4.1в явний зв’язок між X і Y відсутній.

Якщо функція регресії лінійна, то кажуть про лінійну регресію. Отже, лінійна регресія являє собою лінійну функцію між умовним математичним

відхиляється від відповідного умовного математичного сподівання, необхідно ввести у співвідношення M(Y X xi) b0 b1xi випадковий доданок i :

yi M(Y X xi) i b0 b1xi i.

Таке співвідношення називається теоретичною лінійною регресійною моделлю; b0 і b1 теоретичними параметрами (коефіцієнтами); i випадковим відхиленням.

У загальному вигляді теоретичну лінійну регремійну модель подають у вигляді

Y b0 b1X .

2

Для визначення значень теоретичних коефіцієнтів регресії необхідно знати всі значення змінних X і Y генеральної сукупності, що практично неможливо.

Отже, задача лінійного регресійного аналізу полягає в тому, щоб за статистичними даними (xi, yi), i 1,2,...,n для змінних X і Y :

1)одержати найкращі оцінки невідомих параметрів b0 і b1;

2)перевірити статистичні гіпотези про параметри моделі;

3)перевірити, чи достатньо гарно модель погоджується зі статистичними даними.

Таким чином, за вибіркою обмеженого об’єму можна побудувати так зване емпіричне рівняння регресії:

регресії істотно залежать від властивостей випадкової складової . Доведено, що для одержання за МНК найкращих результатів (оцінки обгрунтовані, незміщені й ефективні) необхідно, щоб виконувався ряд передбачень відносно випадкового відхилення:

3

1)математичне сподівання випадкового відхилення i дорівнює нулю, а

саме M( i) 0,i 1,2,...n;

2)дисперсія випадкових відхилень i стала D( i) 2,i 1,2,...n;

3) випадкові відхилення i і j є незалежними одне від одного,

ij,cov( i, j ) 0;

4)випадкове відхилення повинно бути незалежно від пояснюючих змінних cov( i,xi) 0.

Припускають також, що випадкова величина розподілена за

нормальним законом.

Емпіричне рівняння регресії визначається на основі скінченного числа статистичних даних. Отже, коефіцієнти емпіричного рівняння регресії є випадковими величинами. Під час проведення статистичного аналізу виникає необхідність порівняння емпіричних коефіцієнтів регресії bˆ0 і bˆ1 з деякими теоретично очікуваними значеннями b0 і b1 цих коефіцієнтів. Даний аналіз проводиться за схемою статистичної перевірки гіпотез.

Для перевірки гіпотези

де рівень значущості. У разі невиконання цієї нерівності немає підстав для відхилення H0 .

Sbˆ1 стандартна помилка оцінки bˆ1, яка обчислюється так:

4

відповідає рівню значущості і числу степеней свободи k n 2.

Найбільш важливою на початковому етапі статистичного аналізу побудованої моделі є задача виявлення присутності лінійного зв’язку між Y і X . Ця проблема може бути вирішена за такою схемою:

Однією з центральних задач регресійного моделювання є передбачення (прогнозування) значень залежної змінної при конкретних значеннях пояснювальної змінної. Можливі два підходи: або передбачити умовне математичне сподівання залежної змінної (прогнозування середнього значення), або прогнозувати деяке конкретне значення залежної змінної (передбачення індивідуального значення).

необхідно передбачити умовне математичне сподівання M(Y X xp) змінної

5

M(Y X xp). Тоді природньо виникає питання, як сильно може відхилитися модельне середнє значення yˆp, розраховане за емпірічним рівнянням, від

відповідного умовного математичного сподівання? Відповідь на це питання дається на основі інтервальних оцінок, побудованих із заданою надійністю1 при будь-якому конкретному значення xp пояснювальної змінної.

На практиці іноді більш важливо знайти дисперсію Y , ніж її середнє значення або довірчі інтервали для умовних математичних сподівань. Це дозволяє визначити допустимі межі для конкретного значення Y .

Довірчий інтервал для конкретного значення змінної Y , яке відповідає значенню X xp визначається так:

ширший довірчого інтервалу для умовного математичного сподівання (на рисунку 2 межі цього інтервалу показано пунктирною лінією).

Аналізуючи побудовані інтервали, слід зазначити, що найбільш вузькими

вони будуть при xp x. У міру віддалення xp від серенього значення довірчі інтервали розширяються (рисунок 4.2). Отже, необхідно достатньо обережно

Y

y b0 b1 x

yp

y

x xp X

Рис.4.2

6

екстраполювати одержані результати на прогнозові області. З іншого боку, по мірі зростання числа спостережень n ці інтервали звужуються до лінії регресії.

Приклад. Для аналізу залежності об’єма споживання Y (у.о.) домогосподарств від доходу X (у.о.) відібрана вибірка об’єму n 12 (помісячно протягом року), результати якої наведені в таблиці 1.

Необхідно:

1)визначити тип залежності;

2)оцінити параметри рівняння регресії Y на X ;

3)оцінити силу лінійної залежності між X і Y ;

4)оцінити статистичну значущість коефіцієнтів регресії при рівні значущості 0,05;

5)розрахувати 95%-ті довірчі інтервали для теоретичних коефіцієнтів

регресії;

6)спрогнозувати споживання при доході X 160; визначити 95%-ті

довірчі інтервали для цього прогнозу.

Таблиця 1

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 107 109 110 113 120 122 123 128 136 140 145 150 yi 102 105 108 110 115 117 119 125 132 130 141 144

Розв`язання

1 Для визначення типу залежності побудуємо кореляційне поле (рис.4.3).