Mat_stat_ua

2 2 2

При цьому за статистичні оцінки θ*1 , θ*2 вибирають ті їх значення, за яких задана вибірка буде найімовірнішою, тобто функція (2.6) досягає максимуму.

На практиці зручно від функції (2.6) перейти до її логарифма, а саме:

з другого рівняння системи (2.7) маємо:

Отже, M xB XГ.

генеральної дисперсії DГ , називається виправленою дисперсією і позначається через S2 :

31

називають виправленим середнім квадратичним відхиленням.

Виправлене середнє квадратичне відхилення є зміщеною точковою статистичною оцінкою для σГ , оскільки

де k = n – 1 є кількістю ступенів свободи;

Приклад. 200 однотипних деталей були піддані шліфуванню. Результати вимірювання наведені як дискретний статистичний розподіл, поданий у табличній формі:

Розв’язання. Оскільки точковою незміщеною оцінкою для XГ є xB, то обчислимо

xB xini n

3,7 1 3,8 22 3,9 40 4,0 79 4,1 27 4,2 26 4,3 4 4,4 1 200

3,7 83,6 156 316 110,7 109,2 17,2 4,4 808,8 4,004мм. 200 200

Для визначення точкової незміщеної статистичної оцінки для DГ обчислимо DB :

4,1 2 27 4,2 2 26 4,3 2 4 4,4 2 1 200

13,69 317,68 608,4 1264 453,87 458,64 73,96 19,36 200

32

3209,6 16,048. 200

Тоді точкова незміщена статистична оцінка для DГ становитиме:

Приклад. Граничне навантаження на сталевий болт хі, що вимірювалось в лабораторних умовах, задано як інтервальний статистичний розподіл:

Розв’язання. Для визначення точкових незміщених статистичних оцінок xB, S2 перейдемо від інтервального статистичного розподілу до дискретного, який набирає такого вигляду:

Звідси точкова незміщена статистична оцінка для DГ є S2 6,4 кг/мм2.

33

2.3 Закони розподілу ймовірностей для xB , S2, S

Числові характеристики вибірки є випадковими величинами, що мають певні закони розподілу ймовірностей. Так, xB (вибіркова середня) на підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей (теореми Ляпунова) матиме нормальний закон розподілу з числовими характеристиками:

матиме розподіл 2 із k = n – 1 ступенями свободи.

k = n – 1 ступенями свободи.

Таким чином, можна стверджувати,що:

випадкова величина xB ~ N a; b , тут символ ~ потрібно читати «розподілена як»;

випадкова величина S 2 ~ 2 n 1 2; n 1

випадкова величина S ~ n 1 . n 1

2.4 Інтервальні статистичні оцінки для параметрів генеральної сукупності

Точкові статистичні оцінки θ* є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на θ* часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки.

Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною.

Різниця між статистичною оцінкою θ* та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме:

34

де δ є точністю оцінки.

Оскільки θ* є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність (2.14) справджуватиметься з певною ймовірністю.

Імовірність, з якою береться нерівність (2.14), тобто

сукупності з заданою надійністю , називають довірчим.

2.5 Побудова довірчого інтервалу для XГ при відомому значенні σГ

із заданою надійністю

Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу. Побудуємо довірчий інтервал для XГ , знаючи числове значення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності σГ, із заданою надійністю γ.

Випадкова величина xB a має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

M xB a M xB a a a 0;

D xB a D xB DГ ; n

σ xB σГ . n

Тому xB a матиме нормований нормальний закон розподілу N(0; 1).

Г

n

35

З рівності (2.19) знаходимо аргументи х, а саме:

2Ф х Ф х 0,5 .

Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює 0,5 γ за таблицею (додаток Б).

Отже, довірчий інтервал для XГ при відомому значенні σГ має вигляд

що можна зобразити умовно на рис. 2.1.

XГ а

Приклад. Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю 0,99 побудувати довірчий інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює 0,09 cм2 .

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати:

xB, Г , n, x.

n 40 6,32 . Величина х обчислюється з рівняння

Ф х 0,5 0,5 0,99 0,495.

Ф х 0,495, х 2,58 за таблицею значень функції Лапласа .

36

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:

4,2; 2,4; 4,9; 6,7; 4,5; 2,7; 3,9; 2,1; 5,8; 4,0; 2,8; 7,8; 4,4; 6,6; 2,0; 6,2; 7,0; 8,1; 0,7,; 6,8; 9,4; 7,6; 6,3; 8,8; 6,5; 1,4; 4,6; 2,0; 7,2; 9,1.

Побудувати інтервальний статистичний розподіл із довжиною кроку h = 2 млн. грн.

З надійністю 0,999 знайти довірчий інтервал для XГ , якщо Г = 5 млн. грн.

Розв’язання. Інтервальний статистичний розподіл буде таким:

168 5,6млн грн.

30

Для побудови довірчого інтервалу із заданою надійністю 0,999 необхідно знайти х:

Ф х 0,5 0,5 0,999 0,4995, х 3,4.

Обчислюємо кінці інтервалу:

37

Отже, довірчий інтервал для XГ буде 2,5 XГ 8,7 .

Приклад. Якого значення має набувати надійність оцінки γ, щоб за обсягу вибірки n = 100 похибка її не перевищувала 0,01 при Г 5.

Розв’язання. Позначимо похибку вибірки