![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1)Поняття прямокутної матриці. Види матриць.
- •2) Лінійні операції над матрицями
- •3)Добуток матриць
- •9) Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матрична форма запису лінійної системи.
- •11)Матричний метод
- •12)Поняття вектору. Лінійні операції над векторами.
- •14)Довжина вектора та відстань між двома відрізками.
- •16)Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах. Умова колінеарності двох векторів.
- •17)Мішаний добуток, його властивості та обчислення.
- •18)Обчислення об’єму паралелепіпеду, побудованого на трьох не компланарних векторах. Умова компланарності двох векторів.
- •19)Різні типи рівнянь прямої на площині.
- •20)Відхилення та відстань точки від прямої
- •21)Кут між прямими на площині.
- •22) Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
- •23)Різні типи рівнянь площини.
- •24)Відхилення та відстань точки від площини.
- •29)Лінії другого порядку(коло, еліпс, гіпербола, парабола)
- •30)Загальне рівняння ліній другого порядку.
- •31)Системи координат у просторі.
- •32)Площина у просторі.
- •33)Поверхні другого порядку.
- •34)Загальне рівняння поверхні другого порядку.
- •35)Сфера, еліпсоїд.
- •36)Гіперболоїди, параболоїди.
- •37)Конічні поверхні. Конус.
- •38)Циліндричні поверхні. Циліндри.
- •39)Лінійчасті поверхні. Дати означення квадратичної форми і записати її матрицю.
- •40)Канонічний вигляд квадратичної форми.
- •41)Означення знаковизначених квадратичних форм.
- •44)Закон інерції для квадратичних форм.
- •46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
- •47)Критерії Сільвестра.
- •49)Поняття тензора. Компоненти тензорів та їх перетворення.
- •52)Додавання та множення тензорів. Згортання тензорів. Властивість симетрії тензорів. Перестановка індексів, симетрування та альтернування. Сложение тензоров
- •54)Векторне поле. Циркуляція векторного поля. Дивергенція та ротор векторного поля. Векторные поля
- •Циркуляция векторного поля
- •Дивергенция и ротор векторного поля
- •55) Теорема Гаусса-Остроградського. Теорема Стокса. Диференціювання вектора за напрямом. Векторне формулювання теорем Гаусса-Остроградського і Стокса.
41)Означення знаковизначених квадратичних форм.
Необхідна та достатня умова знаковизначеності квадратичної форми.
Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була знаковизначеною, необхідно і достатньо, щоб або додатній індекс інерції p, або від’ємниї індекс інерції q дорівнював розмірності n простору V. При цьому, якшо p=n, то форма додатно визначена, якщо q=n, то форма від’ємно визначена.
Критерій Сільвестра знаковизначеності квадратичної форми.
Для
того, щоби квадратична форма A(x,x), що
задана у векторному просторі V, була
додатно
визначеною,
необхідно і достатньо, щоб виконувались
нерівності:.
Для
того, щоби квадратична форма A(x,x), що
задана у векторному просторі V, була
від’ємно
визначеною,
необхідно і достатньо, щоб знаки кутових
мінорів чергувались, при чому
.
44)Закон інерції для квадратичних форм.
Теорема1(закон
інерції квадратичної форми): Число
доданків з додатними (від’ємними)
коефіцієнтами в нормальному вигляді
квадратичної форми не залежить від
способу приведення форми до даного
вигляду.Доведення:
Нехай форма
з допомогою (**) приведена до (*), і з
допомогою другого не виродженого
перетворення координат прийдемо до
нормального вигляду
(***) .Для доведення теореми потрібно
перевірити рівність
.Нехай
.
Потрібно переконатися, що в даному
випадку існує ненульовий вектор
,
що по відношенням до базисів, в яких
форма має вигляд (*) і (***), координати
даного вектора рівні нулю:
(****).
Так як
отримані шляхом не виродженого
перетворення (**) координат
,
а координати
з допомогою аналогічного не виродженого
перетворення тих же координат
,
то умову (****)можна розглядати як систему
лінійних однорідних рівнянь відносно
координат
шуканого вектора
в базисі
.Так
як
,
то число однорідних рівнянь (****) меншеn,
тому система (****) має ненульовий розв’язок
відносно
.
Тому, якщо
,
то існує ненульовий вектор
,
для якого виконується рівність (****).В
даному випадку отримаємо:
.Дана
рівність має місце, при
і
,
що суперечить тому, що даний вектор є
ненульовим. Аналогічно, при
.Отже,
.Теорема доведена.
45)Сигнатура квадратичної форми - числова характеристика квадратичної форми. Кожна квадратична форма з дійсними коефіцієнтами може бути наведена за допомогою невиродженої лінійної заміни змінних до канонічного вигляду
Різниця
між
числом позитивних і негативних членів
в цьому записі називається сигнатурою
квадратичної форми. Числаp
і q
сигнатури не залежать від способів
приведення форми до канонічного виду
(закон інерції Сильвестра).
Сигнатуру
квадратичної форми також записують у
вигляді пари чисел
або
у вигляді
з
відповідним числом плюсів і мінусів.
Приклад.
Квадратична форма від двох змінних
може
бути приведена до канонічного вигляду
наприклад,
за допомогою лінійної заміни змінних
Сигнатура
цієї квадратичної форми дорівнює нулю
або може бути записана у вигляді
або
у вигляді
46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
Звести квадратичну форму до канонічного виду можна методом Лагранжа.
Ідея
цього методу полягає в послідовному
виділенні повних квадратів по кожній
змінній в квадратичній формі. Для
виділення повного квадрату по змінній
необхідно, щоб в квадратичній формі
був присутній вираз з квадратом цієї
змінної. Якщо в квадратичній формі нема
членів з квадратами змінних, то
застосовують спеціальне невироджене
перетворення змінних так, щоб в
квадратичній формі утворилися члени з
квадратами змінних. Так, якщо всі
,
але
для деяких номерів
і
,
то застосувавши невироджене лінійне
перетворення змінних
при
,
отримаємо, що член
квадратичної форми набуде вигляду
,
це означає, що в квадратичній формі
отримаємо члени з квадратами по змінній
і
.
Ці члени, не можуть з іншими членами
форми скоротитися, так як кожний інший
її член міститься в
при
.
Таким чином, в квадратичній форма
є члени із змінними в квадраті. Нехай в
квадратичній формі
є член з квадратом змінної
,
тобто
.
Згрупуємо в
всі члени, які містять
,
і доповнимо їх суму до повного квадрату.
Тоді отримаємо, що
де
–
квадратична форма від змінних
.
Введемо
нові змінні
,
,…,
. Для нових змінних квадратична форма
набуде
вигляд
.
З квадратичною формою
можна поступити аналогічно. Через
крок ми прийдемо до канонічної форми
.
Нехай
–матриця
послідовно виконаних відображень
змінних;
–матриця
квадратичної форми,
–діагональна
матриця отриманого канонічного вигляду.
Тоді формула
набуває вигляд
.
Нехай
квадратична форма
зведена до канонічного вигляду
Виконаємо
додаткові лінійні перетворення змінних
.
В результаті квадратична форма набуде
вигляду
.
Такий вигляд квадратичної форми
називають
нормальним
виглядом.