![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1)Поняття прямокутної матриці. Види матриць.
- •2) Лінійні операції над матрицями
- •3)Добуток матриць
- •9) Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матрична форма запису лінійної системи.
- •11)Матричний метод
- •12)Поняття вектору. Лінійні операції над векторами.
- •14)Довжина вектора та відстань між двома відрізками.
- •16)Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах. Умова колінеарності двох векторів.
- •17)Мішаний добуток, його властивості та обчислення.
- •18)Обчислення об’єму паралелепіпеду, побудованого на трьох не компланарних векторах. Умова компланарності двох векторів.
- •19)Різні типи рівнянь прямої на площині.
- •20)Відхилення та відстань точки від прямої
- •21)Кут між прямими на площині.
- •22) Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
- •23)Різні типи рівнянь площини.
- •24)Відхилення та відстань точки від площини.
- •29)Лінії другого порядку(коло, еліпс, гіпербола, парабола)
- •30)Загальне рівняння ліній другого порядку.
- •31)Системи координат у просторі.
- •32)Площина у просторі.
- •33)Поверхні другого порядку.
- •34)Загальне рівняння поверхні другого порядку.
- •35)Сфера, еліпсоїд.
- •36)Гіперболоїди, параболоїди.
- •37)Конічні поверхні. Конус.
- •38)Циліндричні поверхні. Циліндри.
- •39)Лінійчасті поверхні. Дати означення квадратичної форми і записати її матрицю.
- •40)Канонічний вигляд квадратичної форми.
- •41)Означення знаковизначених квадратичних форм.
- •44)Закон інерції для квадратичних форм.
- •46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
- •47)Критерії Сільвестра.
- •49)Поняття тензора. Компоненти тензорів та їх перетворення.
- •52)Додавання та множення тензорів. Згортання тензорів. Властивість симетрії тензорів. Перестановка індексів, симетрування та альтернування. Сложение тензоров
- •54)Векторне поле. Циркуляція векторного поля. Дивергенція та ротор векторного поля. Векторные поля
- •Циркуляция векторного поля
- •Дивергенция и ротор векторного поля
- •55) Теорема Гаусса-Остроградського. Теорема Стокса. Диференціювання вектора за напрямом. Векторне формулювання теорем Гаусса-Остроградського і Стокса.
18)Обчислення об’єму паралелепіпеду, побудованого на трьох не компланарних векторах. Умова компланарності двох векторів.
Компланарними називають вектори, які лежать в паралельних площинах. Інакше кажучи, вектори компланарні, якщо при паралельному їх переносі і суміщенні початків вони лежать в одній площині. Очевидно, що два вектори завжди компланарні.
Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b і c.
Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, побудованої з цих векторів.
Властивість 1. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами.
Властивість 2. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
Властивість 3. Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.
19)Різні типи рівнянь прямої на площині.
Якщо
на площині довільно узята декартова
система координат, то рівняння
,
де
,
та
-будь-які
числа, причому
та
одночасно
не дорівнюють нулю, єзагальним
рівнянням прямої.
Загальне
рівняння прямої приможна
привести до виду
-рівняння
прямої з кутовим коефіцієнтом,
де
-
кутовийкоефіцієнтякий дорівнює тангенсу
кута, утвореного даноюпрямою
та невід'ємним напрямом осі ОХ. (
)
І випадок
ІІ випадок:
або
Якщо
пряма перетинає осі ОХ і ОУ у точках з
координатами,
,
то вона може бутизнайдена за допомогою
формули
рівняння
прямої в відрізках
.
Якщо
пряма проходе через дві точки
и
,
такі, що
та
,
то її рівняння можна скласти за формулоюрівняння
прямої що проходе через дві різні точки
.
20)Відхилення та відстань точки від прямої
Для
обчислення відстані та відхилення точки
від прямої найзручніше використовувати
нормальне рівняння прямої
1).
Відстань точки M0(
x0
,y0
) від заданої прямої можна знайти за
формулою
Отже, відстань точки від прямої дорівнює взятому за абсолютною величиною результату підстановки координат точки в нормальне рівнянняпрямої.
2).
Відхилення точки від прямої обчислюється
за формулою
На
відміну від відстані d відхилення
може
бути як
додатним,
так і від’ємним. Якщо
> 0 , то точка M0
і
початок координат лежать по один
бік
від прямої. Якщо
< 0, то точка M0
і початок координат лежать по різні
боки від
прямої.
21)Кут між прямими на площині.
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
22) Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями y = k1x + B1, y = k2x + B2, с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2. (8)
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
(9)
Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
(10)
Это условие может быть записано также в виде
k1k2 = -1. (11)
б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства
A1A2 + B1B2 = 0. (12)