- •1)Поняття прямокутної матриці. Види матриць.
- •2) Лінійні операції над матрицями
- •3)Добуток матриць
- •9) Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матрична форма запису лінійної системи.
- •11)Матричний метод
- •12)Поняття вектору. Лінійні операції над векторами.
- •14)Довжина вектора та відстань між двома відрізками.
- •16)Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах. Умова колінеарності двох векторів.
- •17)Мішаний добуток, його властивості та обчислення.
- •18)Обчислення об’єму паралелепіпеду, побудованого на трьох не компланарних векторах. Умова компланарності двох векторів.
- •19)Різні типи рівнянь прямої на площині.
- •20)Відхилення та відстань точки від прямої
- •21)Кут між прямими на площині.
- •22) Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
- •23)Різні типи рівнянь площини.
- •24)Відхилення та відстань точки від площини.
- •29)Лінії другого порядку(коло, еліпс, гіпербола, парабола)
- •30)Загальне рівняння ліній другого порядку.
- •31)Системи координат у просторі.
- •32)Площина у просторі.
- •33)Поверхні другого порядку.
- •34)Загальне рівняння поверхні другого порядку.
- •35)Сфера, еліпсоїд.
- •36)Гіперболоїди, параболоїди.
- •37)Конічні поверхні. Конус.
- •38)Циліндричні поверхні. Циліндри.
- •39)Лінійчасті поверхні. Дати означення квадратичної форми і записати її матрицю.
- •40)Канонічний вигляд квадратичної форми.
- •41)Означення знаковизначених квадратичних форм.
- •44)Закон інерції для квадратичних форм.
- •46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
- •47)Критерії Сільвестра.
- •49)Поняття тензора. Компоненти тензорів та їх перетворення.
- •52)Додавання та множення тензорів. Згортання тензорів. Властивість симетрії тензорів. Перестановка індексів, симетрування та альтернування. Сложение тензоров
- •54)Векторне поле. Циркуляція векторного поля. Дивергенція та ротор векторного поля. Векторные поля
- •Циркуляция векторного поля
- •Дивергенция и ротор векторного поля
- •55) Теорема Гаусса-Остроградського. Теорема Стокса. Диференціювання вектора за напрямом. Векторне формулювання теорем Гаусса-Остроградського і Стокса.
38)Циліндричні поверхні. Циліндри.
Циліндричною називається поверхня, що утворена переміщенням прямої (твірної) вздовж деякої заданої лінії (напрямної) паралельно заданому напряму.
Будемо розглядати циліндричні поверхні, напрямні яких знаходяться в одній з координатних площин, а твірні паралельні координатній осі, що перпендикулярна цієй площині.
Нехай у площині міститься деяка лінія, рівняння якої має вигляд:
(1.5)
Побудуємо циліндр з твірними, паралельними осі , і напрямною.
Теорема. Рівняння циліндра з твірними, паралельними осі , має вигляд (1.5), тобто не містить координати.
Доведення. Візьмемо на циліндрі будь-яку точку . Вона знаходиться на деякій твірній. Нехайє точкою перетину цієї твірної з площиною. Отже, точказнаходиться на лініїі її координати задовольняють рівняння (1.5). Але точкамає ті ж самі абсцису і ординату, що і точка. Таким чином, рівнянню (1.5) задовольняють і координати точки, тому що воно не містить, і оскільки – це будь-яка точка циліндра, то рівнянням циліндра буде рівняння (1.5).
Аналогічно, рівняння є рівнянням циліндра з твірними, паралельними осі , ає рівнянням циліндра з твірними, паралельними осі . Назва циліндра визначається назвою напрямної. Якщо напрямною єеліпс
(1.6)
у площині , то відповідна йому циліндрична поверхня називаєтьсяеліптичним циліндром (рис. 1.7). Його рівняння співпадає з рівнянням еліпса (1.6).
Частинним випадком еліптичного циліндра є круговий циліндр, який визначається рівнянням
. (1.7)
Рівняння
(1.8)
визначає параболічний циліндр (рис 1.8), а рівняння
(1.9)
визначає гіперболічний циліндр (рис 1.9).
39)Лінійчасті поверхні. Дати означення квадратичної форми і записати її матрицю.
Означення 4. Квадратичною формою називається многочлен від n змінних , в якому повний степінь коженого одночлена дорівнює двом.
Приклад.
Числова функція f(x,x) одного векторного аргумента x, яка отримується з білінійної форми f(x,y) при x = y є квадратичною формою від координат вектораx.
В загальному випадку квадратичная форма має вигляд:
Квадратичній формі співставляється симетрична матриця
яка називається матрицею квадратичної форми. Легко бачити, що матриця А збігається з матрицею симетричної білінійної форми, з якої отримується дана квадратична форма. Позначимо через - стовпчик, що складається зі змінних. Тоді
=
Ранг матриці квадратичної форми А називаєься рангом відповідної квадратичної форми
40)Канонічний вигляд квадратичної форми.
Нехай тоді канонічний вигляд квадратичної форми буду таким:
(4.21)
Приведемо без доведення дві теореми про канонічний вигляд квадратичної форми ( доведення цих теорем див., наприклад, в підручнику Д.В.Беклемишева. Курс аналитической геометри и линейной алгебры ).
Теорема 1. Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.
Теорема 2. (закон інерції квадратичних форм). Число додатних і від’ємних коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від вибору базису, в якому вона приведена до канонічного вигляду.