- •1)Поняття прямокутної матриці. Види матриць.
- •2) Лінійні операції над матрицями
- •3)Добуток матриць
- •9) Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матрична форма запису лінійної системи.
- •11)Матричний метод
- •12)Поняття вектору. Лінійні операції над векторами.
- •14)Довжина вектора та відстань між двома відрізками.
- •16)Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах. Умова колінеарності двох векторів.
- •17)Мішаний добуток, його властивості та обчислення.
- •18)Обчислення об’єму паралелепіпеду, побудованого на трьох не компланарних векторах. Умова компланарності двох векторів.
- •19)Різні типи рівнянь прямої на площині.
- •20)Відхилення та відстань точки від прямої
- •21)Кут між прямими на площині.
- •22) Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
- •23)Різні типи рівнянь площини.
- •24)Відхилення та відстань точки від площини.
- •29)Лінії другого порядку(коло, еліпс, гіпербола, парабола)
- •30)Загальне рівняння ліній другого порядку.
- •31)Системи координат у просторі.
- •32)Площина у просторі.
- •33)Поверхні другого порядку.
- •34)Загальне рівняння поверхні другого порядку.
- •35)Сфера, еліпсоїд.
- •36)Гіперболоїди, параболоїди.
- •37)Конічні поверхні. Конус.
- •38)Циліндричні поверхні. Циліндри.
- •39)Лінійчасті поверхні. Дати означення квадратичної форми і записати її матрицю.
- •40)Канонічний вигляд квадратичної форми.
- •41)Означення знаковизначених квадратичних форм.
- •44)Закон інерції для квадратичних форм.
- •46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
- •47)Критерії Сільвестра.
- •49)Поняття тензора. Компоненти тензорів та їх перетворення.
- •52)Додавання та множення тензорів. Згортання тензорів. Властивість симетрії тензорів. Перестановка індексів, симетрування та альтернування. Сложение тензоров
- •54)Векторне поле. Циркуляція векторного поля. Дивергенція та ротор векторного поля. Векторные поля
- •Циркуляция векторного поля
- •Дивергенция и ротор векторного поля
- •55) Теорема Гаусса-Остроградського. Теорема Стокса. Диференціювання вектора за напрямом. Векторне формулювання теорем Гаусса-Остроградського і Стокса.
52)Додавання та множення тензорів. Згортання тензорів. Властивість симетрії тензорів. Перестановка індексів, симетрування та альтернування. Сложение тензоров
Если и - компоненты двух тензоров одного и того же типа относительно произвольного базиса , то - компоненты тензора также типа , называемого суммой двух данных тензоров.
Умножение тензоров
Если и - компоненты двух тензоров соответственно типов и относительно произвольного базиса , то - компоненты тензора типа , называемого произведением двух данных тензоров.
Транспонирование тензоров
Транспонирование тензора по двум ковариантным или двум контравариантным индексам - преобразование тензора в тензор того же типа, компоненты которого отличаются от компонент исходного тензора только порядком транспонируемых индексов.
Например, при транспонировании по индексам i1 и i2 имеем
Свертывание тензоров
Свертывание тензора по одному верхнему и одному нижнему индексу - операция, заключающая в приравнивании какого-либо верхнего и какого-либо нижнего индексов тензора и последующем суммировании по этому совпадающему индексу.
Например, операция свертывания тензора по индексам i1 и j1 состоит в следующем:
При свертывании ранг тензора всегда понижается на 2, и тензор типа переходит в тензор типа . Тензор, получающийся в результате свертывания данного тензора, называется сверткой.
Один из способов получения численных инвариантов состоит в p-кратном свертывании p раз ковариантного и p раз контравариантного тензора.
53)Одиничний тензор. Метричний тензор. Головні осі тензора.
Метричний тензор або метрика - це симетричне тензорне поле рангу 2 на гладкому різноманітті, за допомогою якого задаються скалярний твір векторів в дотичному просторі, довжини кривих, кути між кривими і т. д.
В окремому випадку поверхні метрика також називається першої квадратичної формою.
В загальної теорії відносності метрика розглядається в якості фундаментального фізичного поля (гравітаційного) на чотиривимірному різноманітті фізичного простору-часу. Широко використовується і в інших побудовах теоретичної фізики, зокрема, в біметріческіх теоріях гравітації на просторі-часі розглядають відразу дві метрики.
54)Векторне поле. Циркуляція векторного поля. Дивергенція та ротор векторного поля. Векторные поля
К простейшим векторным полям относятся: соленоидальное, потенциальное игармоническое.
Определение 1: Векторное поле называется соленоидальным или трубчатым, если во всех точках поля Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты. Поскольку div\vec{B}=0, то поле вектора магнитной индукции является соленоидальным.
Определение 2: Векторное поле называется потенциальным илибезвихревым, если во всех точках поля Для потенциального векторного полявсегда найдется такая скалярная функция u(M) (потенциал векторного поля), что . Потенциал векторного поля можно найти по формуле
где– произвольная точка поля, в которой функции P, Q, R определены, С – произвольная постоянная.
Определение 3: Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля и и т.е. поле является соленоидальным и потенциальным. Потенциал u гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа