33)Поверхні другого порядку.

Еліпсоїд

Сфера

Однополий гіперболоїд

Однополий гіперболоїд обертання

Двополий гіперболоїд

Двополий гіперболоїд обертання

Конус

Конус обертання

Еліптичний параболоїд

Параболоїд обертання

Гіперболічний параболоїд

Еліптичний циліндр

Гіперболічний циліндр

Параболічний циліндр

34)Загальне рівняння поверхні другого порядку.

Поверхня другого порядку - геометричне місце точок,декартові прямокутні координатияких задовольняють рівняння виду

a ₁₁ x ² + a ₂₂ y ² + a ₃₃ z ² + 2 a ₁₂ x y + 2 a ₂₃ y z + 2 a ₁₃ x z + 2 a ₁₄ x + 2 a ₂₄ y + 2 a ₃₄ z + a ₄₄ = 0

в якому принаймні один з коефіцієнтів a ₁₁ , a ₂₂ , a ₃₃ , a ₁₂ , a ₂₃ , a ₁₃ відмінний від нуля.!

35)Сфера, еліпсоїд.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

где a,  b,  c>0 — параметры эллипсоида. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида, а система координат, в которой эллипсоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В частном случае a = b = c = R   имеем уравнение сферы

36)Гіперболоїди, параболоїди.

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

 якщо a і b мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.

 якщо a і b мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.

 якщо один з коефіціентів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями x, y і z, еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням

Гіперболо́їд — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

 (Однопорожнинні гіперболоїд),

де a і b - дійсні півосі, а c - уявна піввісь;

або

 (Двопорожнинні гіперболоїд),

де a і b - уявні півосі, а c - дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня називається гіперболоїдом обертання. Однопорожнинні гіперболоїд обертання може бути отримати обертаннямгіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний - навколо дійсної.

гіперболоїд

37)Конічні поверхні. Конус.

Поверхня, яка утворена прямими лініями, що проходять через задану точку і перетинають задану плоску лінію(яка не проходить через), називаєтьсяконічною поверхнею або конусом. Лінія називаєтьсянапрямною конуса, точка – їївершиною, а пряма, яка описує поверхню – твірною.

Нехай напрямна задана рівняннями

, (1.10)

а точка є вершиною конуса (рис. 1.4).

Візьмемо на поверхні конуса будь-яку точку (рис. 1.4). Твірна, яка проходить через точкиіперетинає напрямнуу деякій точці. Координати точкизадовольняють рівнянням (1.10) напрямної, тобто

. (1.11)

Канонічні рівняння твірних, що проходять через точки імають вигляд

. (1.12)

Рівняння конічної поверхні отримаємо після виключення із рівнянь (1.11) і (1.12). Наприклад, якщо вершина конуса розташована в точці, а напрямною є еліпс, який лежить в площині, то рівняння (1.11) і (1.12) відповідно мають вигляді. Виключаючи з нихіз урахуванням того, що, отримаємо рівняння конуса.

Поверхні, що утворені рухом прямої, отримали назву лінійчатих, а прямі, що їх складають, називаються прямолінійними твірними. Серед поверхонь другого порядку лінійчатими є циліндричні і конічні поверхні, а також однопорожнинний гіперболоїд і гіперболічний параболоїд.\

Ко́нус — геометричне тіло, отримане шляхом об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки — вершини конуса, і таких що проходять через довільну плоску поверхню.