52)Додавання та множення тензорів. Згортання тензорів. Властивість симетрії тензорів. Перестановка індексів, симетрування та альтернування. Сложение тензоров

     Если и - компоненты двух тензоров одного и того же типа относительно произвольного базиса , то - компоненты тензора также типа , называемого суммой двух данных тензоров.

     Умножение тензоров 

     Если и - компоненты двух тензоров соответственно типов и относительно произвольного базиса , то - компоненты тензора типа , называемого произведением двух данных тензоров.

     Транспонирование тензоров 

     Транспонирование тензора по двум ковариантным или двум контравариантным индексам - преобразование тензора в тензор того же типа, компоненты которого отличаются от компонент исходного тензора только порядком транспонируемых индексов.

     Например, при транспонировании по индексам i₁ и i₂ имеем

     Свертывание тензоров 

     Свертывание тензора по одному верхнему и одному нижнему индексу - операция, заключающая в приравнивании какого-либо верхнего и какого-либо нижнего индексов тензора и последующем суммировании по этому совпадающему индексу.

     Например, операция свертывания тензора по индексам i₁ и j₁ состоит в следующем:

     При свертывании ранг тензора всегда понижается на 2, и тензор типа переходит в тензор типа . Тензор, получающийся в результате свертывания данного тензора, называется сверткой.

     Один из способов получения численных инвариантов состоит в p-кратном свертывании p раз ковариантного и p раз контравариантного тензора.

53)Одиничний тензор. Метричний тензор. Головні осі тензора.

Метричний тензор або метрика - це симетричне тензорне поле рангу 2 на гладкому різноманітті, за допомогою якого задаються скалярний твір векторів в дотичному просторі, довжини кривих, кути між кривими і т. д.

В окремому випадку поверхні метрика також називається першої квадратичної формою.

В загальної теорії відносності метрика розглядається в якості фундаментального фізичного поля (гравітаційного) на чотиривимірному різноманітті фізичного простору-часу. Широко використовується і в інших побудовах теоретичної фізики, зокрема, в біметріческіх теоріях гравітації на просторі-часі розглядають відразу дві метрики.

54)Векторне поле. Циркуляція векторного поля. Дивергенція та ротор векторного поля. Векторные поля

К простейшим векторным полям относятся: соленоидальное, потенциальное игармоническое.

     Определение 1: Векторное поле называется соленоидальным или трубчатым, если во всех точках поля   Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты. Поскольку  div\vec{B}=0, то поле вектора магнитной индукции является соленоидальным.

     Определение 2: Векторное поле называется потенциальным илибезвихревым, если во всех точках поля       Для потенциального векторного полявсегда найдется такая скалярная функция  u(M) (потенциал векторного поля), что . Потенциал векторного поля можно найти по формуле

где– произвольная точка поля, в которой функции P, Q, R определены, С – произвольная постоянная.

 

     Определение 3: Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля и                    и   т.е. поле является соленоидальным и потенциальным. Потенциал u гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа