47)Критерії Сільвестра.

Критерій Сильвестра визначає чи є квадратна матриця додатньоозначеною (від'ємноозначеною). Названий за іменем англійського математика Джеймса Джозефа Сильвестра.

Якщо квадратична форма в деякому базисі має матрицю .

.

Квадратична форма є додатньовизначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.

Квадратичная форма є від'ємновизначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому .

Доведення критерія Сільвестра базується на методі Якобі приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

48. Означення розкладної квадратичної форми. Навести приклади. Нету

49)Поняття тензора. Компоненти тензорів та їх перетворення.

Тензор (від лат. tensus , "Напружений") - об'єкт лінійної алгебри. Окремими випадками тензорів єскаляри, вектори, матриці і Білінійні форми.

Часто тензор представляють як багатовимірну таблицю (Де d - Розмірністьвекторного простору, над яким поставлено тензор, а число співмножників співпадає з "валентністю тензора"), заповнену числами (компонентами тензора).

Таке уявлення (за винятком тензорів валентності нуль - скалярів) можливе тільки після виборубазису (або системи координат), при зміні базису компоненти тензора змінюються певним чином. При цьому сам тензор як "геометрична сутність" від вибору базису не залежить. Це можна побачити на прикладі вектора, що є окремим випадком тензора: компоненти вектора змінюються при зміні координатних осей, але сам вектор - наочним образом якого може бути просто намальована стрілка - від цього не змінюється.

Термін "тензор" також часто служить скороченням для терміна " тензорне поле ", вивченням яких займається тензорне числення.

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення є числа

де є базис в просторі, дуальний базису(тобто, деєсимвол Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів , зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторіввідповідно зображають знизу і називають коваріантними.

Перетворення компонент тензора

Ви знаєте, що при заміні старих осей координат новими х ', у' і z 'компоненти вектора ЕХ', Еу ', Ez' теж виявляються іншими. Те ж саме відбувається і скомпонентамі Р, так що для різних систем координат коефіцієнти α ¡jоказиваются різними. Однак цілком можна з'ясувати, як повинні змінюватися α при належному зміні компонент Е і Р, бо, якщо ми описуємо те ж саме електричне поле, але в новій системі координат, ми повинні отримати ту ж саму поляризацію Р. Для будь-якої нової системи координат Рх ' буде лінійною комбінацією Рх, Рy, і Pz:

і аналогічно для інших компонент. Якщо замість Рх, Рy і Р z підставити їх вираження через Е згідно, то вийде

Тепер напишіть, як висловлюється Ех, Еy і Еz через Ех ', Еy' і Еz ', наприклад,

де числа а ', b' і з 'пов'язані з числами а, b і з, але не рівні їм. Таким чином, у вас вийшло вираз Рx 'через компоненти Еx', Еy 'і Ez', тобто вийшли нові α ¡j. Ніяких хитрощів тут немає, хоча все це досить заплутано.

 

Коли ми говорили про перетворення осей, то вважали, що становище самого кристала фіксовано в просторі. Якщо ж разом з осями повертати і кристал, то α не змінюються. І назад, якщо по відношенню до осей змінювати орієнтацію кристала, то вийде новий набір коефіцієнтів α. Але якщо вони відомі для якоїсь однієї орієнтації кристала, то за допомогою тільки що описаного перетворення їх можна знайти і для будь-якої іншої орієнтації. Інакше кажучи, діелектричні властивості кристала повністю описуються завданням компонент тензора поляризуемости α ¡j в будь довільно вибраній системі координат. Точно так само як вектор швидкості v = (vx, vy, vz) можна пов'язати з часткою, знаючи, що три його компоненти при заміні осей координат будуть змінюватися деяким певним чином, тензор поляризуемости α ¡j, дев'ять компонент якого при зміні системи осей координат перетворюються цілком певним чином, можна пов'язати з кристалом.

Зв'язок між Р і Е в рівнянні (31.4) можна записати в більш компактному вигляді:

де під значком i розуміється якась із трьох букв х, у або z, а підсумовування ведеться по j = х, у і z. Для роботи з тензорами було придумано багато спеціальних позначень, але кожне з них зручно для обмеженого класу проблем. Одне з таких спільних угод полягає в тому, що можна не писати знака суми (Σ) в рівнянні (31.5), розуміючи при цьому, що коли один і той же індекс зустрічається двічі (у нашому випадку j), то потрібно підсумувати за всіма значеннями цього індексу. Однак, оскільки працювати з тензорами нам доведеться трохи, давайте не будемо ускладнювати собі життя введенням якихось спеціальних позначень або угод.

Примеры абсолютно симметричных тензоров:

• Ранга 0 — скаляр (любой),

• Ранга 1 — вектор/ковектор (любой),

• Ранга 2: симметричная матрица, (ковариантный) — квадратичная форма.