§ 6 Модуль и аргумент комплексного числа
Определение.
Модулем
комплексного числа
называется длина вектора, изображающего
это число, и обозначается
.
Модуль
числа z
= x
+ iy
определяется однозначно и может быть
найден по формуле
=
.
Нетрудно
видеть, что z
∙
=
и
.
Если
z
= 0 , то
.
Определение. Аргументом комплексного числа z ≠ 0 называется любой угол , отсчитываемый от положительного луча оси ОХ до радиус-вектора z. Этот угол считается положительным, если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае. Для числа z = 0 аргумент не определен.
В отличие от модуля, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.
Пример 6.1 Найти аргумент комплексного числа 1 + i.
Решение.
Аргументами
числа 1 + i
являются углы
(рисунок 4),
(рисунок 5),
(рисунок 6) и, вообще, любой из углов.
,
k
Z.
Рисунок 4 Рисунок 5 Рисунок 6
Все множество аргументов числа z обозначается Arg z, (фр. Ar-gument – аргумент). Такое значение Arg z, которое принадлежит промежутку – < ≤ либо 0 ≤ < 2 и называется главным аргументом. Он обозначается arg z и определяется однозначно
Arg z = arg z + 2k, k Z, – < arg z ≤ .
Упражнения
7 Отметить на плоскости точки, изображающие следующие комплексные числа:
а)
2i
– 3; б)
;
в)
–6 + 2i;
г)
–2 – 2i; д)
(1 – i)4;
е)
.
8 Найти модуль и аргумент комплексного числа:
а)
–
;
б)
;
в) 3 – 2
;
г)
(i + 1)(i – 2); д)
.
§ 7 Тригонометрическая (полярная) форма
комплексного числа
Модуль
и аргумент
комплексного числа z
= x
+ iy
≠ 0 – это, по существу, полярные координаты
(r;
)
точки М(х; у) – рису- нок 7.
Используя связь между декартовыми и полярными координатами точки М (рисунок 8)
,
можно любое комплексное число z ≠ 0 представить в виде:
z = x + iy = r ∙ cos + ir ∙ sin = r(cos + i sin ).
Рисунок 7 Рисунок 8
Запись z = r(cos + i sin ) называется тригонометрической или полярной формой комплексного числа.
Чтобы
записать число z
= x
+ iy
≠ 0 в тригонометрической форме, следует
найти его модуль по формуле
и один из аргументов, решив систему
.
Аргумент
комплексного числа можно определить
из соотношения
,
являющегося следствием последней
системы. Откуда
.
Однако
не все решения этого соотношения являются
решением системы. Напомним, что период
функции y
= tg
x равен .
При с
R
одно из решений уравнения tg
= c,
удовлетворяющее условию
,
обозначается arctg
c.
Таким образом, в промежутке (– ;
]
имеются два угла, тангенсы которых равны
.
Для определения четверти, в которой
лежит угол ,
нужно еще учесть знаки х, у – координат
точки z:
если точка z лежит в I и IV четверти, x > 0, то
=
arg
z
=
(рисунок 9);
2)
если точка z
лежит во II
четверти, т.е. x
< 0, y
> 0, то
и
arg
z
=
(рисунок 10);
3)
Если точка z
лежит в III
четверти, т.е. x
< 0, y
< 0, то
и
(рисунок
11).
Рисунок 9 Рисунок 10
Рисунок 11
Для главного аргумента справедливы формулы:
Пример 7.1 Записать числа в тригонометрической форме:
1) z = 4 + 4i.
Решение.
x
= 4, y
= 4 (I
четверть);
.
Так
как arg
z
=
,
то
z
= 4 + 4i =
2)
z =
–
i.
Решение.
x
=
,
y
= –1 (IVчетверть);
Так
как x
> 0,
= arg
z
= arctg
=
Поэтому
– i
= 2
3)
z = – 2 –
i.
Решение.
x
= –2, y = –
(III четверть);
Так
как x
< 0 и y
< 0,
= arg
z
= –
–2
–
i
=
4)
z = –
+
i.
Решение.
x
= –
,
y
= 1 (II
четверть);
.
Так как x
< 0, y
> 0,
=
arg z =
–
+
i =
5) z = 5.
Решение.
Так
как число z
= 5 действительное и 5 > 0, то
= 0.
6)
z = –
.
Решение.
,
=
(так как –
<
0).
).
7) z = 3i.
Решение.
Так как число z = 3i – мнимое (х = 0, у = 3), причем y = Im z =
=
3 > 0, то
,
= arg
z
=
.
8)
z = –
i.
Решение.
x
= 0, y = –
<
0;
,
= arg
z
= –
.
9)
z = cos
– isin
.
Решение.
Данная
запись числа не является тригонометрической.
Это чис-ло записано в алгебраической
форме, где
, у = –
.
Искомая запись имеет вид z = cos + isin .
;
;
arg z = –
.
–
Данное представление могло быть получено, учитывая чет-ность функции y = cos x и нечетность функции y = sin x.
10)
z = –
Решение.
,
поэтому искомая запись имеет вид: z
= cos
+ i sin .
Так
как
,
то –
– sin